מרחב פולרי

בגאומטריה, מרחב פולרי הוא גאומטריית חילה קבוצתית של נקודות וישרים, שבה כל נקודה שמחוץ לישר מחוברת או לנקודה אחת על הישר או לכולן (נקודות הן מחוברות אם עובר דרכן ישר משותף); ועל כל ישר יש לפחות שלוש נקודות. למרחב פולרי יש תת-מרחבים מקסימליים, שהם מרחבים פרויקטיביים. המרחבים האלו קשורים בשרשראות, כדוגמת החדרים בבנין.

אם q היא תבנית ריבועית המוגדרת על מרחב פרויקטיבי, אז אוסף הנקודות המאפסות את התבנית, יחד עם הישרים המאפסים אותה, מהווים מרחב פולרי. כל מרחב פולרי שייך לאחד משלושה טיפוסים, שהמרחב המתאים לתבנית פולרי הוא אחד מהם.

הגדרה

גאומטריה של נקודות וישרים היא מרחב לינארי חלקי אם דרך כל שתי נקודות עובר לכל היותר ישר אחד, ועל כל ישר יש לפחות שתי נקודות. שתי נקודות הן מחוברות אם עובר דרכן ישר משותף (במרחב לינארי כל שתי נקודות מחוברות).

גאומטריה קבוצתית של נקודות וישרים נקרא מרחב פולרי אם נקודה שמחוץ לישר מחוברת או לנקודה יחידה על הישר, או לכל הנקודות שעליו; ועל כל ישר יש לפחות שלוש נקודות (אם מניחים במקום זה שעל כל ישר יש לפחות שתי נקודות, זהו מרחב פולרי מוכלל). מרחב פולרי הוא מנוון אם יש בו נקודה המחוברת לכל שאר הנקודות.

תת-מרחבים

קבוצת נקודות במרחב פולרי היא תת-מרחב אם כל שתי נקודות בה מחוברות, והיא מכילה כל ישר העובר דרך שתי נקודות שלה. כל תת-קבוצה של נקודות המחוברות זו לזו, יוצרת תת-מרחב (השווה לחיתוך תת-המרחבים המכילים אותה). כל מרחב פולרי לא מנוון הוא מרחב לינארי חלקי.

הדרגה של מרחב פולרי היא האורך המקסימלי של שרשרת תת-מרחבים לא ריקים. מרחב פולרי מוכלל לא מנוון מדרגה 2 נקרא מלבן מוכלל (את אלו אפשר לתאר אקסיומטית כמרחבים לינארים חלקיים שבהם כל נקודה שמחוץ לישר מחוברת לנקודה יחידה שעליו, ודרך כל נקודה עוברים לפחות שני ישרים). נניח ש-S מרחב פולרי מדרגה סופית. לכל תת-מרחב יש תת-מרחב מקסימלי זר לו. כל תת-מרחב מהווה חיתוך של שני תת-מרחבים מקסימליים.

תת-מרחב (אמיתי) של מרחב פולרי S נקרא על-מישור פרויקטיבי, אם הוא חותך כל ישר של S. נסמן ב-$\ p^{\perp }$ את קבוצת הנקודות המחוברות ל-p. לכל תת-מרחב U שלא כל הנקודות בו מחוברות ל-p, החיתוך $\ U_{p}=U\cap p^{\perp }$ הוא על-מישור פרויקטיבי של U. אם בנוסף לזה U תת-מרחב מקסימלי של S, אז גם תת-המרחב $\ \langle U_{p},p\rangle$ הוא מקסימלי (והוא כולל את הנקודות שעל הישרים דרך p, שיש להם לפחות נקודה אחת ב-$\ U_{p}$). כל תת-מרחב של מרחב פולרי שיש בו לפחות שני ישרים, הוא מרחב פרויקטיבי (זה משפט Buekenhout, המכליל משפט דומה למרחבים מדרגה סופית שהוכיחו Buekenhout ו-Shult). משפט זה מכניס את מושג הממד של מרחבים פרויקטיבים לתאוריה של מרחבים פולריים.

הגדרה באמצעות תת-מרחבים

משפט Buekenhout-Shult מתאר את מבנה תת-המרחבים של מרחב פולרי S מדרגה סופית n, כדלקמן:

1. כל תת-מרחב מקסימלי המכיל לפחות שני ישרים הוא מרחב פרויקטיבי מממד n-1;
2. חיתוך של שני תת-מרחבים הוא תת-מרחב;
3. לכל נקודה p מחוץ לתת-מרחב מקסימלי U, יש תת-מרחב מקסימלי יחיד W העובר דרך p כך שהחיתוך שלו עם U הוא מממד n-2 (החיתוך כולל בדיוק את הנקודות של U המחוברות ל-p);
4. יש שני תת-מרחבים מקסימליים זרים.

למעשה, ארבע תכונות אלו הרכיבו את ההגדרה המקורית של ז'אק טיץ. אכן, טיץ הגדיר מרחב פולרי כגאומטריה קבוצתית עם אובייקטים מטיפוסים $0,1,\dots ,n-1$ (הקרויים נקודה, ישר,... על-מישור, בהתאמה), המקיימת את ארבע האקסיומות הבאות:

1. הגאומטריה השאריתית בכל על-מישור היא מרחב פרויקטיבי מממד n-1;
2. החיתוך של כל שני אובייקטים הוא אובייקט;
3. לכל נקודה p מחוץ לעל-מישור U יש על-מישור יחיד דרך הנקודה כך שהחיתוך שלו עם U הוא אובייקט מממד n-2, והוא כולל את הנקודות של U המחוברות ל-p;
4. יש שני על-מישורים זרים.

בכל מרחב כזה, הגאומטריה של הנקודות והישרים היא מרחב פולרי. במלים אחרות, ההגדרה האקסיומטית לפי נקודות וישרים שקולה לזו של טיץ על ארבע התכונות של תת-מרחבים.