משוואות נאוויה-סטוקס

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

משוואות נאוויה–סטוקס מתארות תנועה של זורם צמיג כמו נוזל או גז. המשוואות נקראות על שם מפתחיהן קלוד לואי נאוויה וג'ורג' סטוקס. הן נובעות מפיתוח של החוק השני של ניוטון, ומההנחה כי המאמצים בזורם נובעים מהפרש הלחצים בזורם ומצמיגות הזורם.

המשוואות הן בעלות חשיבות גדולה מכיוון שהן שימושיות ונפוצות בתחומים רבים, כגון מידול מזג האוויר וזרמים בים, זרימה בצנרת, וזרימה מסביב כנף של מטוס. יתר על כן, ישנו עניין במשוואות מבחינה מתמטית, שכן טרם הוכח שקיים תמיד פתרון למשוואות בשלושה ממדים, וכן לא הוכח שבאופן כללי פתרונות המשוואה אינם סובלים מסינגולריות או אי־רציפויות. בעיות אלו הוכרזו על ידי מכון קליי למתמטיקה כאחת משבע הבעיות הפתוחות החשובות ביותר במתמטיקה, ואף הוצע פרס כספי בשווי של 1,000,000 דולרים לחוקר שיצליח להוכיח או להפריך את הטענה הזו.

משוואות נאוויה–סטוקס הן משוואות דיפרנציאליות. הנחת היסוד של המשוואות היא שהזורם הוא רציף, והן פותחו מתוך עקרונות בסיסיים של שימור מסה, שימור תנע ושימור אנרגיה. פתרון המשוואות הוא שדה מהירות שהוא תיאור של מהירות הזורם בכל נקודה במרחב ובזמן. מתוך שדה המהירות ניתן לחשב גדלים פיזיקליים אחרים.

המשוואות בצורתן הכללית

בכתיב וקטורי, הצורה הכללית ביותר של המשוואות הינה:

כאשר צפיפות הזורם, וקטור המהירות, הזמן, הלחץ, מייצג את הכוחות החיצוניים הפועלים במערכת (כמו הכבידה או כוחות צנטריפוגליים), הצמיגות, הצמיגות השניה ו־ טנזור הנגזר מתוך טנזור המאמצים , והמקיים את הקשר:

כאן היא מטריצת היחידה.

המשוואות עבור זורם ניוטוני בלתי דחיס

עבור נוזל בלתי דחיס ולכן האבר האחרון מתאפס. כמו כן, עבור נוזל בלתי דחיס, הוא מאמץ הגזירה . לכן, עבור זורם ניוטוני בלתי דחיס, מתקיים

בסה"כ, במקרה של נוזל ניוטוני בלתי דחיס, המשוואות מקבלות את הצורה

משוואות נאוויה סטוקס הן למעשה הכללה של החוק השני של ניוטון עבור זורם רציף, ולכל אחד מהאברים לעיל ניתן לשייך משמעות פיזיקלית מוגדרת:

פתרון המשוואות נעשה בהינתן תנאי ההתחלה ותנאי השפה של הבעיה. משוואה נוספת בה משתמשים בעת הפתרון היא משוואת הרציפות שבמקרה של זורם בלתי דחיס מצטמצמת לביטוי .

מאפיינים

אי־לינאריות

משוואות נאוויה–סטוקס הינן משוואות דיפרנציאליות חלקיות לא־לינאריות בכמעט כל מצב ריאלי, חוץ מכמה מקרים בודדים – כגון זרימה חד־ממדית ומשוואות סטוקסזרימה זוחלת – בהם ניתן לפשט את המשוואה לצורה לינארית. העובדה שהמשוואות אינן לינאריות היא הסיבה העיקרית לקושי בפתרונן.

עבור זורם ניוטוני בלתי דחיס האבר הלא־לינארי היחיד הנו אבר ה"הסעה" המייצג תאוצה הנגרמת משינוי המהירות כפונקציה של המקום. דוגמה למקרה כזה היא מעבר זורם דרך זרבובית הולכת וצרה. במקרה זה מהירות הנוזל גדלה עם ההתקדמות בזרבובית, אך אף על־פי שהמהירות של כל חלקיק יחיד תלויה בזמן, שדה המהירות קבוע בזמן.

ישימות

יחד עם משוואות משלימות (לדוגמה, משוואת הרצף) ותנאי שפה מנוסחים היטב, משוואות נאוויה–סטוקס מסוגלות למדל תנועה זורמת באופן מדויק, תחת ההנחה של זורם רציף (שאפשר לגזור אותו אינסוף פעמים ואינו מורכב מאטומים או מולקולות בדידות) וניוטוני (אינו נע במהירויות יחסותיות). כאשר מדובר בקנה מידה קטן מאוד או תחת תנאים קיצוניים, נוזלים אמיתיים העשויים ממולקולות בדידות יפיקו תוצאות שונות מאלו המחולצות מהמשוואה. בהתאם למספר קנודסן, ייתכן כי גישה מתאימה יותר לפתרון שדה הזרימה היא שימוש במכניקה סטטיסטית או לעיתים רחוקות בדינמיקה מולקולרית.

עבור נוזלים טורבולנטיים קשה יותר לקבוע בוודאות שהמשוואות מהוות מידול מדויק עבור שדה הזרימה, אך לרוב התוצאות המתקבלות על ידי שימוש במשוואות מתאימות לתצפיות ניסויות. הפתרון הנומרי של משוואות נאוויה-סטוקסל עבור זרימה טורבולנטית היא קשה מאוד, וצורך רזולוציית רשת קטנה במיוחד כאשר ממדלים את הבעיה בעזרת מחשב, מה שגורם לכך שקשה עד בלתי אפשרי להגיע לפתרון. ניסיונות לפתור את הזרימה הטורבולנטית באמצעות מידול למינרי מביאים בדרך כלל לפתרון לא יציב בזמן, אשר לא מצליח להתכנס כראוי. על מנת להתמודד עם בעיה זו, לעיתים נעשה שימוש במשוואות שלוקחות בחשבון זמן ממוצע – כגון משוואות נאוויה–סטוקס עם מיצוע של מספר ריינולדס (RANS) – בתוספת דגמים טורבולנטיים, עבור דינמיקה חישובית של נוזלים (CFD). טכניקה נוספת לפתרון הבעיה היא שימוש ב־Large Eddy Simulation, או בקצרה LES (ראה ערך באנגלית). גישה זו יקרה יותר מאשר שיטת RANS (בזמן ובזיכרון מחשב), אבל מייצרת תוצאות טובות יותר.

המשוואות בקואורדינטות קרטזיות

כשאנו מתייחסים לוקטור המהירות כאל (רכיבי המהירות בכיוון הצירים של המערכת), נוכל להפריד את המשוואה הווקטורית לשלוש משוואות סקלריות.

יצוין כי תלויים באוריינטציה של התאוצה הכבידתית במערכת הצירים אותו אנו בוחרים.

משוואת הרציפות בקואורדינטות קרטזיות הנה:

תחת ההנחה של זורם בלתי דחיס – קבוע – וההנחה של זרימה תמידית, שגוררת את ההתאפסות של הנגזרות לפי הזמן, נוכל לפשט את משוואת הרצף למשוואה:

המערכת בת ארבע המשוואות הללו מהווה את הצורה הכי שכיחה ונלמדת של משוואות נאוויה–סטוקס.

המשוואות בקואורדינטות גליליות

שימוש בקואורדינטות גליליות יתן לנו את מערכת המשוואות הבאה:

לרוב נבחר את מערכת הצירים כך שרכיבי התאוצה הכבידתית יהיו קבועים – הן על ידי בחירת ציר Z כך שיהיה בכיוון הכבידה והן על ידי בחירת מערכת הצירים כך שכח הכבידה יתבטל עם כוח הנובע מהפרש לחצים.

משוואת הרצף בקואורדינטות גליליות:

נוח מאוד לקבוע את מערכת הצירים כך שהמערכת תהייה אקסי־סימטרית. במקרה זה אין למשוואות תלות בזווית .

המשוואות בקואורדינטות כדוריות

משוואות נאוויה–סטוקס בקואורדינטות כדוריות הן:

כאשר קו הרוחב, האזימוט.

משוואת הרצף בקואורדינטות כדוריות:

השפעת מספר ריינולדס של הזורם על המשוואות

מספר ריינולדס הוא גודל חסר ממד, המבטא את היחס בין כוחות האינרציה של הזורם לבין כוחות החיכוך הפועלים בין הזורם לסביבה.

אם לזורם יש מספר ריינולדס גדול, אזי כוחות האינרציה של הזורם גדולים יחסית מהכוחות שנובעים מצמיגותו של הגוף, וניתן להזניח את האיברים במשוואת נאוויה–סטוקס התלויים בצמיגות. מאידך, נוזל עם מספר ריינולדס קטן במיוחד יושפע הרבה יותר מצמיגותו מאשר מכוחות האינרציה, וניתן להזניח את כל איברי המשוואה התלווים ב־, המהווים את כלל האיברים מצדו השמאלי של השוויון.

הנחות מפשטות אפשריות למשוואות

להלן רשימה של כמה הנחות אשר מפשטות את משוואות נאוייה סטוקס, ובכך גורמות לכך שיהיה יותר קל למצוא פתרון אנליטי או נומרי.

הנחה משמעות מתמטית הסבר
זרימה תמידית הזורם התייצב במצב מתמיד אחרי זמן יחסית ארוך, כך שכבר אינו משתנה כפונקציה של הזמן.
זרימה מפותחת בכיוון המהירות אינה מושפעת מאפקטי הקצוות של הבעיה הנתונה, ונשארת קבועה בכיוון . יש לציין כי הנחה זו אינה תקפה עבור פרופיל הלחץ.
אקסיסימטריות (עבור משוואת נאוויה סטוקס בקואורדינטות גליליות) – המהירות והלחץ אינם משתנים בכיוון המשיקי, זאת אומרת שאין שינוי בלחץ ובמהירות כתלות בזווית .
דו־ממדיות הערכים בבעיה תלויים בשני ממדים בלבד וקבועים לאורך הכיוון השלישי. כמו כן, אין מהירות בכיוון זה.


ראו גם


Logo hamichlol.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0