משוואת איינשטיין

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

משוואת איינשטיין או משוואת השדה של איינשטיין היא המשוואה המרכזית של תורת היחסות הכללית, הקרויה על שם הפיזיקאי אלברט איינשטיין. היא מקשרת בין הגאומטריה של המרחב-זמן, המגולמת בטנזור איינשטיין, לבין החומר במרחב, המבוטא באמצעות טנזור מאמץ-אנרגיה, תוך שימוש בקבוע הכבידה האוניברסלי של ניוטון

G

ובקבוע של מהירות האור

c

. מציאת המשוואה הייתה פסגת עבודתו של איינשטיין מפרסום תורת היחסות הפרטית ב-1905 עד להצלחה בנובמבר 1915. היא משוואה המתארת קשר בין שדות טנזוריים, היא דיפרנציאלית ולא-ליניארית.

רקע

איינשטיין רצה לתאר את הכבידה כתורת-שדה עם משוואות שדה, בדומה להישגים בתיאור תורה אלקטרומגנטית. הרעיון שלו היה להכליל את משוואת פואסון הקלאסית של פוטנציאל כבידה (ניוטוני)

 2Φ=4πGρ

לצורה קו-וריאנטית יחסותית, כלומר צורה שאינה תלויה במערכת ייחוס ספציפית (מסקנה של תורת היחסות הפרטית). לאחר שנכשל מתודית בגיבוש תורה סקלרית (רכיב שדה יחיד) ותורה וקטורית (ארבעה רכיבי שדה, בדומה לתורה אלקטרומגנטית), פנה לחפש תורה טנזורית, בו לשדה יש 16 רכיבים (בפועל, תחת הדרישה שהטנזור סימטרי, 10 רכיבים בלתי-תלויים לכל היותר).

מרכיבי המשוואה

צד הגאומטריה

איינשטיין תיאר את שדה הגרביטציה כשדה מטריקה, כלומר טנזור סימטרי בארבעה ממדי מרחב-זמן, gμν. מטריקה זו מגדירה את עקמומיות המרחב-זמן. מהמטריקה ניתן להגדיר את טנזור ריצ'י וסקלר ריצ'י, ומאלה מרכיבים את טנזור איינשטיין

Gμν=RμνgμνR2

צד החומר

החומר (כל חומר) נכנס למשוואה איינשטיין דרך טנזור המאמץ-אנרגיה, גם הוא טנזור סימטרי בארבעה ממדי מרחב-זמן, המסומן  Tμν. רכיביו מתארים את צפיפות האנרגיה (כלומר מסה), צפיפות התנע, לחץ ומאמץ בכל נקודה במרחב. לחומרים שונים תרומות שונות לטנזור זה; המודלים הפשוטים ביותר מתארים ואקום, מסה נקודתית, גז, אבק, קרינה ועוד.

טנזור מאמץ-אנרגיה יחסותי ורכיביו

המשוואה

כאשר בצד השמאלי יש רק גדלים שקשורים לגאומטריה של המרחב ובצד הימני של המשוואה יש טנזור (טנזור צפיפות האנרגיה) שמכיל מידע על החומר, משוואת איינשטיין מאפיינת את הקשר ביניהם:

Gμν=8πGc4Tμν

זו היא משוואה טנזורית, המורכבת למעשה ממשוואה עבור כל רכיב. לטנזורים במרחב-זמן יש 4x4=16 רכיבים, אך מאחר שהם סימטריים יש בפועל רק 10 רכיבים, ובהם 4 הניתנים לשינוי חופשי באמצעות בחירת מערכת קואורדינטות. זוהי משוואה דיפרנציאלית לא ליניארית אך מוצגת היטב וניתנת לפתרון. זו משוואת-שדה, עבורה ידועים מספר פתרונות. המפורסמים שבהם כוללים פתרון של ואקום, פתרונות של חור שחור, ופתרונות של גלי כבידה.

הקבוע הקוסמולוגי

מאוחר יותר גילה איינשטיין שיש משוואה כללית יותר המקיימת את הדרישות התאוריות שהעלה. משוואה זו היא המשוואה הקודמת בתוספת תיקון שרירותי הידוע בשם "הקבוע הקוסמולוגי". המשוואה המלאה, הכוללת את הקבוע הקוסמולוגי Λ, היא

Gμν+Λgμν=8πGc4Tμν

איינשטיין הוסיף את הקבוע הקוסמולוגי למשוואת השדה כיוון שבתקופתו הייתה נטייה להאמין שהיקום סטטי במהותו, ואינו מתפשט או מצטמצם בגודלו. אולם, מרגע שהאסטרונום אדווין האבל גילה שהיקום מתפשט, ב-1929, הבין איינשטיין שהקבוע הקוסמולוגי היה סתם תיקון אד-הוק, וכינה אותו "השטות הגדולה ביותר בחיי" ("biggest blunder of my life").
משהצטברו בסוף שנות ה-90 של המאה ה-20 עדויות לקיומה של אנרגיה אפלה ביקום, הוצע להשיב את הקבוע הקוסמולוגי למשוואות כדי לתאר את קיומה.

פיתוח המשוואה

את משוואות השדה אפשר גם להסיק באופן ריגורוזי באמצעות עקרון הפעולה, לשם כך צריך לחשב את הפעולה של מרחב שיכול להתעקם ולעשות וריאציה על  S=SH+SM+SΛ כאשר SM היא הפעולה של החומר (מוואריאציה מקבלים את טנזור צפיפות האנרגיה), SΛ הוא פעולת האנרגיה האפלה (מוואריאציה עליה מקבלים את הקבוע הקוסמולוגי) ואילו SH היא הפעולה של מרחב עקום. המתמטיקאי דויד הילברט חישב את הפעולה של מרחב עקום ומצא שהיא שווה ל

 SH=d4xdetgR

כאשר R הוא סקלר ריצ'י המבטא את עקמומיות המרחב. מוואריאציה על פעולה זו (שנקראת "פעולת הילברט") מקבלים את אגף שמאל של משוואת השדה של איינשטיין.

ישנו פיתוח אחר של משוואת איינשטיין

שלב ראשון: טנזור איינשטיין

משוואת איינשטיין נכתבת בצורה:

Gμν=κTμν (1)

יחסות כללית עולה בקנה מידה אחד אם שימור לוקאלי של האנרגיה והתנע, הביטוי המתמטי לכך הוא:

μTμν=Tμν;μ=0 (2)

לכן נחפס טנזור איינשטיין Gμν אשר מקיים את התנאי:

μGμν=Gμν;μ=0 (3)

נתחיל בזהות ביאנקי הדפרנציילית:

Rρσμν;λ+Rρσλμ;ν+Rρσνλ;μ=0 (4)

נכפיל את שני צידי המשוואה בgρμ:

Rμσμν;λ+Rμσλμ;ν+gρμRρσνλ;μ=0

שווה ל:

Rσν;λRμσμλ;νgρμRσρνλ;μ=0

נכפיל את שני צידי המשוואה בgσν:

Rνν;λRνλ;νgρμRνρνλ;μ=0

שווה ל:

R;λRνλ;νgρμRρλ;μ=0

R;λRνλ;νRμλ;μ=0

R;λ2Rμλ;μ=0

Rμλ;μ12R;λ=0

נכפיל את שני צידי המשוואה בgνλ:

Rμν;μ12gνλR;λ=0

Rμν;μ12gνμR;μ=0

(Rμν12gμνR);μ=0 (5)

נגדיר טנזור איינשטיין Gμν כך:

Gμν=Rμν12gμνR

טנזור איינשטיין מקיים את התנאי (לפי משוואה 5):

μGμν=Gμν;μ=0

לכן הוא טנזור איינשטיין הוא הטנזור שנמצא בצד השאמלי של משוואת איינשטיין.

שלב שני: הקבוע הכבידה של איינשטיין

כעת נחפס את הערך הקבוע κ קבוע הכבידה של איינשטיין. משוואת השדה צריכה לשמר את צורת תאורית הכבידה הניוטונית בקרובים של כבידה חלשה, למעשה לפתוח של משוואת השדה נעשה שימוש בתאורית הכבידה הניוטונית בכבידה חלשה.

תאורית הכבידה של ניוטון מנוסחת בצורותה הכללית ביותר על ידי חוק גאוס הכבידתי. חוק גאוס הכבידתי מקשר בין פטנציאל הכבידה Φ לבין צפיפות המסה ρ.

2Φ=4πGρ (6)

מסלול של גוף הנופל נפילה חופשית הוא:

x¨=g=Φ

d2xidt2=Φxi (7)

משוואת התנועה ביחסות כללית היא משוואת הגאודזיה שנכתבת כך:

d2xσdτ2+Γμνσdxμdτdxνdτ=0 (8)

עובר קירוב של מהירויות נמוכות אנו מניחים ש 4-וקטור המהירות הוא:

vσ=dxσdτ(c,0,0,0) (9)

חשב של סמלי כריסופל על ידי שימוש במשוואת התנועה (8) עבור מהירויות נמוכות נותן.

Γ00i=1c2d2xidt2

לפי משוואה 7

Γ00i=1c2Φxi (10)

עבור מהירויות נמוכות טנזור האנרגיה תנע היה שווה ל:

Tμν=diag(ρc2,0,0,0) (11)

אנו מניחים שהכבידה חלשה לכן עקמומיות המרחב זמן גם כן קטן ולכן המטריקה היא:

gμνημν+hμν (12)

כאשר hμν הוא ערך קטן מאוד.

נניח גם כן שהמטריקה אינה תלויה בזמן (כי המהירויות הם מאוד נמוכות) לכן:

0gμν=00Γμνσ=0 (13)

כעת נחשב את טנזור ריצ'י על ידי שימוש במשוואת איינשטיין עבור שולשת ממדי המרחב

Gij=Rij12gijR=κTij

לפי משוואה 12 ביטוי זה שווה בקרוב ל:

Rij12ηijR=0

Rij=12Rδij (13)

נחשב את סקלר ריצ'י

R=gμνRμνημνRμν=R00+δijRij

נציב את משוואה 13

RR00+δij12Rδij=R00+312R

לכן:

R00=12R (14)

מתוך המשוואות 13 ו- 14

Rμν=12Rδμν (15)

כעת נחשב את R00 לפי נוסחת טנזור ריצ'י

R00=Rμ0μ0=R0000+Ri0i0=Ri0i0

טנזור רימן הוא:

Rρσμν=μΓσνρνΓσμρ+ΓσναΓαμρΓσμαΓανρ

לכן עובר R00:

Ri0i0=iΓ00i0Γ0ii+Γ00αΓαiiΓ0iαΓα0i

מתוך ההנחה שהכבידה חלשה מאוד (משוואה 12) סמלי קריסטופל קטנים לכן ניתן לבצע קירוב לביטוי זה

Ri0i0=iΓ00i0Γ0ii

מתוך ההנחה שהמטריקה אינה תלויה בזמן (משוואה 13) ניתן לכתוב ביטוי זה כך:

Ri0i0=iΓ00i

לכן:

R00=i(1c2Φxi)=1c22Φ

נציב את משוואה 6 ונקבל:

R00=1c24πGρ (16)

נכתוב את משוואת איינשטיין:

Gμν=Rμν12gμνR=κTμν

לפי הנחת הכבידה החלשה (משוואה 12), והצבה של משוואה 15, ניתן לכתוב משוואת איינשטיין כך:

12Rδμν12ημνR=κTμν

שווה ל:

12R diag(1,1,1,1)12R diag(1,1,1,1)R=κ12R diag(ρc2,0,0,0)

לכן המשוואה איינשטיין עבור μ=ν=0 היא:

R=κρc2

נציב את משוואה 14 ונקבל:

2R00=κρc2

נציב את משוואה 16 ונקבל:

24πGρc2=κρc2

לכן קבוע הכבידה של איינשטיין הוא:

κ=8πGc4

κ=2.076641221043sec2kg1m1

לכן משוואת השדה של איינשטיין היא:

Rμν12gμνR=8πGc4Tμν

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משוואת איינשטיין34610892Q273711