משוואת זכאי
משוואת זכאי (באנגלית: Zakai equation) היא משוואה עבור המסנן האופטימלי עבור מערכות לא־ליניאריות, אשר פותחה על ידי פרופ' משה זכאי מהפקולטה להנדסת חשמל בטכניון בסביבות שנת 1967.[1]
סקירה כללית
בתאוריית הסינון משוואת זכאי היא משוואה ליניארית דיפרנציאלית חלקית (אנ') לצפיפות בלתי מנוצלת של מצב נסתר. לעומת זאת, משוואת קושנר (אנ') נותנת משוואות דיפרנציאליות חלקיות לא ליניאריות לצפיפות מנורמלת.
באופן עקרוני, גישה זו מאפשרת לאמוד פונקציית כמות (מצב של מערכת דינמית) ממדידות רועשות, גם כאשר המערכת אינה ליניארית (ובכך להכליל את התוצאות הקודמות של וינר וקלמן עבור מערכות ליניאריות ופתרון בעיה מרכזית בתורת האמידה.
משוואת זכאי היא משוואה דיפרנציאלית חלקית.
רקע
בעיית סינון (הפרדת האות מהרעש) של משפחה רחבה של מערכות דינמיות ליניאריות ידועה כמסנן קלמן.[2]
בהמשך לזה עלתה בעיה דומה של מציאת המסנן האופטימלי עבור מערכות לא־ליניאריות. התוצאות שהיו ידועות עבור מקרה זה היו מסובכות ביותר.
בסביבות שנת 1967 פיתח הפרופ' משה זכאי משוואה הרבה יותר פשוטה עבור המסנן האופטימלי הידועה כ"משוואת זכאי".[3][4]
תוצאה זו מהווה נקודת מפנה למספר רב של מחקרים בשטח זה.[5][6]
משוואת זכאי
נניח שמצב המערכת מתפתח בהתאם לפי היחסים הבאים:
dx = f (x, t) dt + dw
מדידת הרעש הנובעת ממצב המערכת זמינה מהיחסים הבאים:
dz = h (x, t) dt + dv
כאשר dw, dv הם שני מקדמים של WEINER, ולכן עוצמת המצב הלא נורמלי בזמן T הוא
dp = L (p) dt + ph ^ {T} dz
(התוצאה באמצעות "משוואת זכאי")
ראו גם
קישורים חיצוניים
- סימולציה של משוואת זכאי (Discretization and Simulation of the Zakai Equation, ינואר 2006)
- "משוואת דאנקן-מורטנסן-זכאי" (האנציקלופדיה למתמטיקה)
הערות שוליים
- ^ "משוואת זכאי" perso-math.univ-mlv.fr/users/printems.jacques/Zakairevjuin06
- ^ פתרון משוואת זכאי על ידי הפרדת משתנים מחבר: Frederick E. Daum
- ^ 2. .M. Zakai, “On the Optimal Filtering of Diffusion Processes”, Zeitschr. f. Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, 11, pp. 230–243, 1969.
- ^ "משוואת זכאי" The Zakai equation of nonlinear filtering for jump-diffusion observation: existence and uniqueness arxiv.org מחברים: Claudia Ceci, Katia Colaneri, תאריך: 16 באוקטובר 2012
- ^ Sritharan, S. S. (1994). "Nonlinear filtering of stochastic Navier–Stokes equations". In Funaki, T.; Woyczynski, W. A. (eds.). Nonlinear Stochastic PDEs: Burgers Turbulence and Hydrodynamic Limit (PDF). Springer-Verlag. pp. 247–260. מסת"ב 0-387-94624-1.
- ^ נושא: הכללות חלקיות של משוואת זכאי וכמה שיטות פתרון "Fractional generalizations of Zakai equation and some solution methods" פורסם: 9 ביוני 2018, מחברים: Sabir Umarov, Fred Daum, Kenric Nelson
