משפט אוילר (גאומטריה)

משפט אוילר בגאומטריה, הקרוי של שמו של המתמטיקאי לאונרד אוילר, קובע כי המרחק $\ d$ בין מרכז המעגל החוסם ומרכז המעגל החסום של משולש מקיים: ${\frac {1}{R+d}}+{\frac {1}{R-d}}={\frac {1}{r}}$, כאשר $\ R$ הוא רדיוס המעגל החוסם ו-$\ r$ הוא רדיוס המעגל החסום.

הוכחה

תרשים של ההוכחה (כולל ההוכחה עצמה) נוצר על ידי תוכנת GeoGebra

נסמן ב-O את מרכז המעגל החוסם את המשולש ABC, וב-I את מרכז המעגל החסום. נאריך את AI עד שיפגש עם המעגל החוסם ונסמן נקודה זאת ב-L, ואז נקודה L היא אמצע הקשת BC. נעביר את הקוטר מ-L דרך O כך שיפגש עם המעגל החוסם בנקודה M. מנקודה I נעביר אנך ל-AB, ונסמן את נקודת המפגש ב-D. ואז ID=r. על פי משפט תאלס זווית LBM ישרה. זווית LMB שווה לזווית IAD (זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת), ולכן משולשים MBL ו-ADI דומים, ומכאן ID × ML = AI × BL. לכן 2Rr = AI × BL. מתקיים

$\angle BIL=\angle {A \over 2}+{\angle ABC \over 2}$ וכן

$\angle IBL=\angle {ABC \over 2}+\angle CBL=\angle {ABC \over 2}+\angle {A \over 2}$ (זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות האחרות במשולש),

ולכן זווית BIL שווה לזווית IBL, ומכאן BL=IL ו- AI × IL = 2Rr. נאריך את OI משני צדדיו ונסמן את נקודות המפגש ליד O ו-I ב-P ו-Q בהתאמה. מתקיים PI × QI = AI × IL = 2Rr, ומכאן R + d)(R − d) = 2Rr), ולכן (d² = R(R − 2r. מש"ל.

הכללות

נסמן כמקודם ב-R,r,d את הרדיוסים של שני מעגלים ואת המרחק בין המרכזים שלהם, ונסמן $\ \alpha ={\frac {r}{R+d}}$ ו-$\ \beta ={\frac {r}{R-d}}$. נאמר ששני המעגלים הם שותפי-n אם אחד מהם חוסם והשני חסום במצולע בעל n צלעות. לפי משפט אוילר, שני המעגלים הם שותפי-3 אם $\alpha +\beta =1$. קיים תנאי דומה לכך ששני מעגלים יהיו שותפי-4 (כלומר, המעגל החוסם והמעגל החסום של איזשהו מרובע, המוכרח להיות במקרה כזה, בעת ובעונה אחת, מרובע משיקים ומרובע ציקלי): $\ \alpha ^{2}+\beta ^{2}=1$ (זהו משפט פס, ). יש הכללה לנוסחה זו במונחי הפונקציה אליפטית של יעקובי ואינטגרל אליפטי שלם מסוג ראשון, [1]. בסוף המאה ה-18 ותחילת המאה ה-19 התגלו קשרים פולינומיים מפורשים עבור ערכים שונים של מספר הצלעות n. לדוגמה, התנאי לכך ששני המעגלים הם שותפי-5 הוא $\ (\alpha +\beta +1)^{3}=4(\alpha ^{3}+\beta ^{3}+1)$; והתנאי לכך שיהיו שותפי-6 הוא $3+(\beta ^{2}-\alpha ^{2})^{2}=2(\alpha ^{2}+\beta ^{2})$.

כעת נתבונן בשני מעגלים C,D, כך ש-C מוכל בפנים של D. מכל נקודה P על D אפשר להעביר משיק ל-C (נאמר בכיוון מחוגי השעון), הפוגע שוב ב-D בנקודה שנסמן ב-$P'$. באופן כזה מוגדרות הנקודות $\ P''=(P')'$, ‏$\ P'''=(P'')'$, וכן הלאה, ומסמנים באינדוקציה $\ P^{(n)}={P^{(n-1)}}'$. אם $P'''=P$, פירושו של דבר הוא ש-$P,P',P''$ הם הקודקודים של משולש החוסם את C וחסום ב-D. אם $P''''=P$, אז $P,P',P'',P'''$ הם הקודקודים של מרובע החוסם את C וחסום ב-D, וכן הלאה. משפט פונסלה (על שמו של ז'אן-ויקטור פונסלה, ) קובע שאם $\ P^{(n)}=P$ לנקודה P כלשהי כל D, אז תכונה זו נכונה לכל נקודה P על D; כלומר, העובדה שהעברת משיק n פעמים חוזרת לנקודת ההתחלה היא תכונה של המעגלים C,D, ולא של הנקודה P. המשפט מתקיים אפילו אם C,D הם אליפסות, ולאו דווקא מעגלים.

מקורות

• Geometry Revisited, H.S.M. Coxeter and S.L Greitzer, Anneli Lax New Mathematical Library, Vol 19; משפט 2.12.
• A Mathematical Gift II, K Ueno, K Shiga and Sh Morita; Mathematical World Vol 20, AMS, 2004.

קישורים חיצוניים

• משפט אוילר, באתר MathWorld (באנגלית)