משפט ארצלה-אסקולי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באנליזה פונקציונלית, משפט ארצלה-אסקולי (נקרא גם משפט אסקולי) מעניק אפיון מלא לקומפקטיות של משפחת פונקציות רציפות בקבוצה קומפקטית, באמצעות תכונת הרציפות במידה אחידה. המשפט מהווה הכללה מרחיקת־לכת של משפט בולצאנו-ויירשטראס.

תיאור פורמלי

אם הוא מרחב מטרי קומפקטי כלשהו, מסמנים ב־ את מרחב הפונקציות הרציפות , שמהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו מרחב בנך (כלומר מרחב נורמי שלם) תחת "נורמת ־אינסוף": .

כמו בכל מרחב מטרי, תת-קבוצה של היא "חסומה" אם קיים חסם ממשי על כל ערכי הפונקציות שלה.

משפט ארזלה אסקולי: תהי קבוצה חסומה. אזי לכל סדרה ב־ קיימת תת-סדרה מתכנסת, אם ורק אם רציפה במידה אחידה.

מסקנה: אם סגורה (בטופולוגיה הנורמית) וחסומה, אז קומפקטית אם ורק אם היא רציפה במידה אחידה.

הוכחה: ממשפט ארזלה-אסקולי נובע כי אם חסומה ורציפה במידה אחידה, אז לכל סדרה יש תת־סדרה מתכנסת. תוספת הנתון ש־ סגורה קובע כי תת־סדרה זו מתכנסת לתוך . מכאן ש־ מהווה מרחב מטרי שבו לכל סדרה יש תת־סדרה מתכנסת, תכונה השקולה לקומפקטיות. הכיוון השני של השקילות נובע באופן טריוויאלי מהמשפט.

מסקנה: אופרטור האינטגרל המוגדר , כאשר גרעין רציף על , הוא אופרטור קומפקטי.

הוכחת המשפט

כיוון ראשון

תהי קבוצה חסומה ונניח שאברי רציפים במידה אחידה. נראה שלכל סדרה ב־ יש תת־סדרה מתכנסת. תהי סדרת פונקציות ב־ . תהי סדרה צפופה ב־ (קיימת כזאת כי מרחב מטרי קומפקטי לכן ספרבילי).

נתבונן בסדרה . זוהי סדרה חסומה ב־ בפרט יש לה תת־סדרה מתכנסת. נסמן אותה ב־ ואת גבולה ב־ . כעת נתבונן בסדרה . גם זו סדרה חסומה ב־ לפיכך יש לה תת־סדרה מתכנסת שאותה נסמן ב־ ואת גבולה ב־ . וכך בתהליך איטרטיבי לכל נגדיר את הסדרה להיות תת־סדרה מתכנסת של ואת גבולה נסמן ב־ .

אם כן, קיבלנו סדרה של סדרות פונקציות. נתבונן בסדרת האלכסון המוגדרת לכל כך (כלומר זו סדרת פונקציות שהאבר ה־־י שלה הוא האבר ה־־י בסדרה ה־־ית).

  1. זוהי תת־סדרה של .
  2. לכל הסדרה מתכנסת ל־ שכן הזנב שלה הוא תת־סדרה של .

יהי . אברי רציפים במידה אחידה לכן קיים כך שלכל ולכל , אם אזי (כאשר היא פונקציית המטריקה ב־). אבל קומפקטי, לפיכך נכסה אותו במספר סופי של כדורים פתוחים בקוטר שנסמנם ב־ .

לכל קיים עבורו (כי צפופה ב־). כמו כן הסדרה מתכנסת ל־ לכן לפי תנאי קושי קיים כך שלכל מתקיים . נסמן . כעת, לכל ולכל קיים עבורו ומתקיים

לכן לפי תנאי קושי הסדרה מתכנסת במידה שווה.


סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0