משפט בולצאנו-ויירשטראס

מתוך המכלול
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה מתמטית, משפט בולצאנו-ויירשטראס קובע כי לכל סדרה אינסופית חסומה של נקודות ב־ קיימת תת-סדרה מתכנסת. ניסוח אחר (ושקול) של המשפט קובע כי לכל קבוצה אינסופית חסומה של נקודות ב־ קיימת נקודת הצטברות.

המשפט הוכח לראשונה על ידי ברנרד בולצאנו ב-1817 כטענת עזר בדרך להוכחת משפט ערך הביניים. חשיבות המשפט לא הוכרה אז והוא נשכח, עד שכחמישים שנה מאוחר יותר קארל ויירשטראס הוכיח אותו שוב באופן בלתי־תלוי.

הרעיון האינטואיטיבי שעומד מאחורי המשפט הוא שאם קיימת קבוצה שיש בה אינסוף נקודות, ואבריה לא יכולים "לברוח" רחוק מדי, לפחות חלק מהם אמורים להיות קרובים מאוד זה לזה. המשפט מראה בצורה קונסטרוקטיבית כיצד ניתן למצוא את הסדרה או נקודת ההצטברות המבוקשות, אך זו אינה דרך מעשית, מאחר שהיא מבוססת על תהליך אינסופי של חלוקת הקטע החסום לחלקים קטנים והולכים.

המשפט שקול ללמה של קנטור ולמשפט היינה-בורל, כלומר: כל אחד ממשפטים אלו ניתן להוכחה באמצעותו, וניתן להוכיח אותו מכל אחד ממשפטים אלו.

במרחבים מטריים כלליים המשפט אינו נכון עוד, אך הקשר בינו ובין הכללת משפט היינה בורל נשמר. מרחב המקיים את התכונה שעליה מצביע משפט היינה־בורל נקרא קבוצה קומפקטית, ואילו מרחב שמקיים את התכונה של משפט בולצאנו־ויירשטראס (כלומר, לכל סדרה של נקודות בו יש תת־סדרה מתכנסת) נקרא מרחב קומפקטי סדרתית – ובמרחבים מטריים, שני המושגים הללו שקולים. במעבר למרחבים טופולוגיים כלליים שקילות זו אינה נשמרת.

הוכחה

נציג כאן את הוכחת המשפט עבור סדרה חסומה ב־ . ההכללה ל־ היא טכנית אך אינה מסובכת. נשתמש בלמה של קנטור לצורך ההוכחה.

תהא סדרה חסומה, אז קיים עבורו . נסמן .

כעת, נחצה את הקטע לשניים, כלומר נביט בשני הקטעים הסגורים .

בהכרח יש אינסוף אברי הסדרה לפחות באחד משני הקטעים הללו, כי אם בשניהם היה מספר סופי של אברי הסדרה, בכל הסדרה היה מספר סופי של אברים.

נבחר את הקטע הזה ונסמן אותו בתור . כעת נוכל לחלק גם את הקטע באותו אופן, וכן הלאה.

נמשיך בתהליך הבניה הזה בצורה אינדוקטיבית, ונקבל סדרה של קטעים המקיימת את התכונות הבאות:

  1. כל הקטעים סגורים.
  2. כל קטע מוכל בקטעים הקודמים לו.
  3. אורכם של הקטעים שואף לאפס.
  4. כל קטע מכיל אינסוף נקודות של .

כל התכונות פרט לשלישית נובעות ישירות מדרך בניית הקטעים. כדי להיווכח בשלישית נשים לב כי מכיון שכל קטע הוא חצי מהקטע הקודם לו, הרי שהנוסחא הכללית לאורכם של הקטעים

היא עבור הקטע ה־ – וזוהי סדרה השואפת לאפס.

אם כן, כל תנאי הלמה של קנטור מתקיימים, ולכן קיימת נקודה יחידה עבורה . נקודה זו תשמש בתור הגבול של תת־הסדרה שאנו מבקשים לבנות.

נבנה את תת־הסדרה שלנו על־ידי בחירת אבר אחד של הסדרה המקורית מכל קטע , כך שהאינדקס שלה בסדרה המקורית יהיה גדול מהאינדקס של כל הנקודות שבחרנו עד עתה. ניתן לעשות זאת בשל התכונה הרביעית של הקטעים, לפיה בכל קטע יש מספר אינסופי של אברי הסדרה, ולכן בפרט אפשר למצוא כזה שהאינדקס שלו גדול מהמקסימום (הסופי) של אינדקסי האברים שנבחרו עד עתה.

כעת, נשים לב כי בהינתן קטע הוא מכיל את כל האברים מתת־הסדרה החל מהמקום ה־ ואילך (כי כולם שייכים לקטעים שמוכלים בו). כמו כן, המרחק הגדול ביותר בין שתי נקודות השייכות לקטע זה אינו עולה על אורך הקטע, . לכן המרחק בין כל נקודות תת־הסדרה החל מהמקום ה־ ואילך מהנקודה אינו עולה על , ומספר זה שואף לאפס. לכן תת־הסדרה שבנינו שואפת ל־ .

הוכחה נוספת

אפשר להוכיח את המשפט באמצעות שילוב של שתי טענות על סדרות ממשיות.

ראשית, לכל סדרה ממשית יש תת־סדרה מונוטונית, עולה או יורדת (במובן החלש). הוכחה: לאבר של הסדרה שהוא קטן או שווה לכל אבר שבא אחריו נקרא "זעירון". אם יש בסדרה אינסוף זעירונים, הם מרכיבים סדרה מונוטונית עולה. אחרת, נתרחק בסדרה עד למקום שממנו והלאה אין זעירונים – לכל אבר יש אבר קטן יותר שבא אחריו. סדרה של אברים כאלה, שכל אחד קטן מקודמו, היא מונוטונית יורדת.

שנית, כל סדרה מונוטונית חסומה – מתכנסת (אל החסם העליון או התחתון שלה, בהתאמה לסוג הסדרה).

לבסוף, לסדרה חסומה במרחב ה־־ממדי יש תת־סדרה שבה הרכיבים הראשונים מהווים סדרה מונוטונית; לזו יש תת־סדרה שבה הרכיבים השניים מהווים סדרה מונוטונית, וכן הלאה. מכיוון שהממד סופי, מתקבלת תת-סדרה שבה ההטלה לכל רכיב היא סדרה מונוטונית, המתכנסת – ולכן תת־הסדרה עצמה מתכנסת.