משפט הפונקציה ההפוכה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באנליזה מתמטית, משפט הפונקציה ההפוכה מגדיר תנאי מספיק לקיום סביבה של נקודה בה פונקציה רציפה היא הפיכה.

ניסוח

תהי קבוצה פתוחה ותהי גזירה ברציפות.

תהי עבורה היעקוביאן בנקודה . קיימת קבוצה פתוחה המקיימת , וקיימת קבוצה כאשר חד-חד-ערכית ב- .

כמו כן, היא גם כן פתוחה והפונקציה ההפוכה גם כן גזירה ברציפות ומטריצת יעקובי של מקיימת: לכל .

מקרה פרטי

זוהי הכללה של המקרה הפרטי  :

תהי גזירה ברציפות. תהי נקודה המקיימת .

מעובדה זו ומרציפות הנגזרת ניתן להסיק כי קיימת כך לכל מתקיים .

נניח כי אז מהיות רציפה, לכל מתקיים שהרי אחרת היה קיים לכל – לפי משפט ערך הביניים.

לכן מונוטונית עולה ממש בכל גורר כי חד-חד-ערכית בכל .

מכאן ניתן להגדיר הגזירה בכל נקודה פנימית בסביבה על פי הגדרת הנגזרת של פונקציה הפיכה:

כי ובקטע זה .


סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0