משפט הפונקציות הסתומות

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באנליזה מתמטית, משפט הפונקציות הסתומות עוסק באפשרות לחלץ ממשוואה בכמה משתנים חלק מהמשתנים כפונקציה של האחרים. כלומר, המשפט מראה באילו תנאים משוואה מציגה פונקציה באופן סתום, ומהן התכונות של אותה פונקציה.

המשפט הוא מקומי (כלומר, הוא מראה שמשוואה מגדירה פונקציה רק בסביבתה של נקודה מסוימת), ואינו נותן דרך להציג את הפונקציה באופן מפורש. למעשה, קיימים מקרים בהם לא ניתן לחלץ את המשתנים התלויים מתוך המשוואה בדרך אלגברית. במקרים האלו האינפורמציה היחידה לגבי הפונקציה ניתנת לנו מתוך משפט הפונקציות הסתומות. בעזרת משפט זה ניתן לחשב את הנגזרות של הפונקציה בנקודה בה מופעל המשפט, ובכך לקבל מידע על התנהגותה של הפונקציה באותה נקודה.

דוגמה למשמעות המשפט

הנקודה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} מקיימת את תנאי המשפט, ולכן קיימת סביבה שלה שבה משוואת המעגל מגדירה באופן סתום את הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} כפונקציה של . הנקודה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} לעומת זאת אינה מקיימת את תנאי המשפט, ואכן לא קיימת סביבה שלה שבה משוואת המעגל מגדירה פונקציה

נביט במשוואה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2+y^2=1} . משוואה זו מתארת מעגל ברדיוס 1. נניח כי אנו רוצים לחלץ את ולהציגו כפונקציה של . על ידי העברת אגפים והוצאת שורש נקבל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\pm\sqrt{1-x^2}} . מכיוון שלכל ערך של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} מותאמים שני ערכים עבור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} ברור כי זוהי אינה פונקציה, כי פונקציה צריכה להתאים לכל ערך של ערך יחיד של . עם זאת, כאשר אנו מתבוננים בנקודה כלשהי על המעגל ומגבילים את ערכי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x,y} לסביבה קטנה שלה, נקבל כי באותה סביבה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} ניתן לחילוץ. למשל, עבור הנקודה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x,y)=(0,1)} ניתן לקחת סביבה ברדיוס הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tfrac12} ועבורה להגדיר את הפונקציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\sqrt{1-x^2}} . כך נקבל פונקציה שעוברת דרך הנקודה ונקודותיה הן בדיוק נקודות המעגל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2+y^2=1} בסביבה הנתונה.

עם זאת, לא עבור כל נקודה ניתן לבצע את החילוץ הזה. שתי הנקודות ה"בעייתיות" הן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (-1,0),(1,0)} . הבעיה בנקודות אלו היא כי בכל סביבה שלהן, אם ננסה לחלץ את הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} כפונקציה של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} , נקבל ערכים של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} להם מתאימים שני ערכים של .

בלשון מעט ציורית, ניתן לתאר את מה שאנו עושים כך: אנו "חותכים" קטעים מהמעגל, ובודקים האם הקטעים הללו נראים כמו גרף של פונקציה. כדי שקטע מעגל יראה כמו גרף של פונקציה, צריך להתקיים שכל קו אנכי חותך את קטע המעגל בנקודה יחידה- כלומר לפונקציה יהיה ערך אחד בלבד עבור כל נקודה. אם הקו לא חותך אותו כלל, פירוש הדבר היה שהפונקציה לא מוגדרת בנקודה שהיא קואורדינטת ה־הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} של הקו האנכי. אם הוא חותך אותו בשתי נקודות או יותר פירוש הדבר היה שכמה ערכי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} מתקבלים עבור אותו ערך של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} , ולכן זה לא גרף של פונקציה. מעגל נראה כמו הדבקה של שני חצאי מעגל (אחד מעל ציר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ואחד מתחתיו), ולכן עבור כל נקודה שאינה בעייתית ניתן לחתוך המעגל בסביבה כזו שתכיל רק חלק מאחת משני חצאי המעגל, ויתקבל גרף של פונקציה. לעומת זאת, בנקודות הבעייתיות, כל סביבה שניקח תחתוך חלק משני חצאי המעגל יחד, ולכן לא יתקבל גרף של פונקציה.

ניסוח פורמלי

תהא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D\sube\R^{m+n}} קבוצה פתוחה ותהא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x_1,\ldots,x_m,y_1,\ldots,y_n):D\to\R^n} פונקציה ב־הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle m+n} משתנים, עבורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F\in C^1(D)} (כלומר, בעלת נגזרות חלקיות רציפות בקטע).

תהא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c\in\R^n} נקודה קבועה כלשהי. אז נתבונן בקבוצה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E=\bigl\{p\in D:F(p)=c\bigr\}} . נניח כי קבוצה זו לא ריקה. (אנו רוצים להראות כי קבוצת נקודות זאת היא גרף של פונקציה המוגדרת בסביבת הנקודה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} ).

(בדוגמה שהבאנו קודם, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x,y)=x^2+y^2,c=1} ).

תהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_*\in E} . זוהי הנקודה שסביבה נרצה לבצע את החילוץ. לצורך נוחות נסמן . כעת נסמן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_*=(x_*,y_*)} .

נביט בתת־המטריצה הבאה של מטריצת יעקובי של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F}  : הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(\frac{\part F_i}{\part y_j}(p_*)\right)_{ij}} . אם תת־מטריצה זו היא הפיכה אז קיים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r>0} ופונקציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Psi:B(x_*,r)\to\R^n} עבורה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Psi\in C^1\bigl(B(x_*,r)\bigr)} , ומתקיים: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x,y)=c\iff y=\Psi(x)} (כלומר, היא הפונקציה שחיפשנו).

דוגמה לשימוש במשפט

נדגים כיצד ניתן להשתמש במשפט כדי לחשב את נגזרת הפונקציה החלקית. נדגים זאת על פונקציה שניתן להציג בקלות בצורה מפורשת, כדי להראות שמקבלים את אותה התוצאה בשני המקרים.

נביט בביטוי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle xy+x+y=1} . ראשית נחלץ מהביטוי את הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} בצורה מפורשת: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y(x+1)=1-x} , כלומר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\frac{1-x}{1+x}} (פונקציה זו לא מוגדרת עבור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=-1} ). נגזור ונקבל:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y'=\frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2}=-\frac{2}{(1+x)^2}}

כעת נשתמש במשפט הפונקציות הסתומות על הביטוי. תהי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(x,y)=xy+x+y} הפונקציה שלנו. אז הנגזרת החלקית על פי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} היא . פונקציה זו היא היעקוביאן שאנו רוצים שיהיה שונה מאפס, מה שמתקיים לכל נקודה פרט ל־הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x=-1} . כלומר בכל נקודה פרט לזו ניתן לחלץ את הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} (נשים לב שזה זהה למה שקיבלנו כאשר ביצענו את החילוץ ישירות).

מכאן שבסביבת כל קיימת פונקציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=f(x)} המציגה את הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} כפונקציה של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} (בחישוב שעשינו קודם ראינו כי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=\frac{1-x}{1+x}} , אך משפט הפונקציות הסתומות לא נותן לנו את הפונקציה בצורה מפורשת).

נציב אותה בביטוי שלנו ונקבל: . כעת נגזור את הביטוי תוך שימוש בכלל המכפלה ונקבל: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)+xf'(x)+1+f'(x)=0} . נחלץ בצורה אלגברית את הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'(x)}  : הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'(x)(1+x)=-1-f(x)} , כלומר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'(x)=\frac{-1-f(x)}{1+x}} . באמצעות הכרת ערכי בנקודות שונות אנו מסוגלים להסיק מהביטוי שקיבלנו את ערכי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f'(x)} באותן נקודות. אם נציב את הביטוי שמוכר לנו עבור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)} בנוסחה שקיבלנו, נראה כי קיבלנו את אותן תוצאות בשתי השיטות.

לכאורה, כאן השימוש במשפט הפונקציות הסתומות יעיל פחות מאשר חילוץ ישיר. אלא שחילוץ ישיר לא תמיד אפשרי, ואילו משפט הפונקציות הסתומות מאפשר את חישוב הנגזרות גם במקרה שבו קיימת פונקציה מפורשת אך אין לנו דרך למצוא אותה.