משפט הרבע של קוב

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באנליזה מרוכבת, משפט הרבע של קוב (Koebe quarter theorem – על שם המתמטיקאי פאול קוב) קובע כי התמונה של מעגל היחידה תחת פונקציה אוניוולנטית מכילה כדור ברדיוס .

פונקציית קוב היא דוגמה לפונקציה הממקסמת את הטענה, ולכן לא ניתן לשפרה.

ניסוח

תהי פונקציה אוניוולנטית, כלומר פונקציה הולומורפית וחד־חד־ערכית, כאשר הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle D=\{z:|z|<1\}} הוא מעגל היחידה. אזי התמונה מכילה כדור ברדיוס סביב הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(0)} .

הוכחה

על ידי תהליך נרמול ניתן להניח כי , כלומר . לכל נגדיר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle h(z) = \frac{f(z)}{1-f(z)/w}=z+(a_2 + \frac{1}{w})z^2+\ldots}  ; היא גם אוניוולנטית ב־הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} . לפי משפט דה ברנז' על הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f,h} עבור , נקבל הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\frac{1}{w}| \le |a_2| + |a_2+ \frac{1}{w}| \le 4} , לכן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle dist(w,0)=|w| \ge \frac{1}{4}} .

פונקציית קוב

הגדרה ותכונות

פונקציית קוב היא הפונקציה ההולומורפית הנתונה על ידי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k(z)= \sum_{n=1}^{\infty}{n z^n} = \frac{z}{(1-z)^2}} . זוהי פונקציה חשובה במיוחד, שכן היא מהווה דוגמה לטענות רבות. ראשית, היא ממקסמת את משפט הרבע של קוב – מתקיים ו- .

פונקציית קוב ממקסמת גם את משפט דה ברנז', הטוען כי המקדמים בפיתוח טיילור של פונקציה אוניוולנטית מקיימים .

בנייה גאומטרית

את פונקציית קוב ניתן לבנות כהרכבת פונקציות באופן הבא.

נביט בפונקציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u:D \to J=\{z : Rez>0 \}, u(z)=\frac{1+z}{1-z}} . זוהי העתקה קונפורמית. הפונקציה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u^2(z)} מעבירה את לכל המישור המרוכב בלי הקרן . כעת, נבצע את תהליך הנרמול על הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle u^{2}(z)} ונקבל את פונקציית קוב – הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle k(z)={\frac {1}{4}}(u^{2}(z)-1)={\frac {1}{4}}(({\frac {1+z}{1-z}})^{2}-1)={\frac {z}{(1-z)^{2}}}} .

במילים אחרות, פונקציית קוב נבנית מפונקציה קונפורמית בין מעגל היחידה למישור בלי הקרן השמאלית, עליה מפעילים את תהליך הנירמול.

ראו גם


סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0