משפט סלוצקי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בתורת ההסתברות, משפט סלוצקי מרחיב כמה מהתכונות של פעולות אלגבריות על סדרות מתכנסות של מספרים ממשיים על סדרות של משתנים מקריים.[1]

המשפט נקרא על שם יבגני (אויגן) סלוצקי.[2] המשפט מיוחס גם להרלד קרמר.[3]

נוסח המשפט

יהו {Xn}, {Yn} סדרות של משתניים מקריים סקלריים/וקטוריים/מטריציים.

אם Xn מתכנס בהסתברות למשתנה מקרי ;

ו-Yn מתכנס בהסתברות לקבוע c, אז

  • , כל עוד c הפיך.

כאשר  מציין התכנסות בהתפלגות.

הערות
  1. הדרישה כי הסדרה Yn מתכנסת לקבוע היא חשובה — אילו היא הייתה מתכנסת למשתנה מקרי שאיננו מנוון, המשפט לא היה תקף.
  2. המשפט נשאר תקף אם נחליף את כל התכנסויות בהתפלגות עם התכנסויות בהסתברות (בשל מאפיין זה).

הוכחה

אם Xn מתכנס בהתפלגות ל-X ו-Yn מתכנס בהסתברות לקבוע c, אז הווקטור (Xn, Yn) מתכנס בהתפלגות אל (X, c) (ראו כאן).

נגדיר לכל אחת ממסקנות המשפט פונקציה:

  • ,
  • ,
  • ,

בהתאמה. כל אחת מהפונקציות האלו רציפה (במקרה האחרון, הפונקציה רציפה רק אם y הפיך), והמסקנות נובעות עכשיו ממשפט ההעתקה הרציפה.

לקריאה נוספת

  • Grimmett, G.; Stirzaker, D. (2001). Probability and Random Processes (שלישית ed.). Oxford.

ראו גם

הערות שוליים

  1. ^ Goldberger, Arthur S. (1964). Econometric Theory. New York: Wiley. pp. 117–120.
  2. ^ Slutsky, E. (1925). "Über stochastische Asymptoten und Grenzwerte". Metron (בגרמנית). 5 (3): 3–89. JFM 51.0380.03.
  3. ^ Remark 11.1 (page 249) of Gut, Allan (2005). Probability: a graduate course. Springer-Verlag. ISBN 0-387-22833-0.
Logo hamichlol.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0