משפט רושה-קפלי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

משפט רושה-קפלי הוא משפט בסיסי באלגברה לינארית המאפיין את הפתרונות של מערכת משוואות לינאריות. המשפט קובע תנאי הכרחי ומספיק לקיום פתרון של מערכת משוואות לינאריות, וכן את הממד של מרחב הפתרונות.

המשפט נקרא משפט רושה-קפלי באיטליה, משפט קרונקר-קפלי ברוסיה, משפט רושה-פונטן בצרפת ומשפט רושה-פרובניוס בספרד.

נוסח פורמלי

נתונה מערכת משוואות לינאריות מהצורה הכללית הבאה:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{alignat}{7} a_{11} x_1 &&\; + \;&& a_{12} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{1n} x_n &&\; = \;&&& b_1 \\ a_{21} x_1 &&\; + \;&& a_{22} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{2n} x_n &&\; = \;&&& b_2 \\ \vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && && \vdots\;\;\; && &&& \;\vdots \\ a_{m1} x_1 &&\; + \;&& a_{m2} x_2 &&\; + \cdots + \;&& a_{mn} x_n &&\; = \;&&& b_m \\ \end{alignat}}


נסמן ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [A]} מטריצת המקדמים הסקלריים, ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bold{x}} את וקטור המשתנים וב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bold{b}} את וקטור המקדמים החופשיים:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [A]= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix},\quad \bold{x}= \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix},\quad \bold{b}= \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix} }


המשפט קובע כי למערכת המשוואות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\bold{x}=\bold{b}} קיים פתרון, אם ורק אם הדרגה של המטריצה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [A]} , שווה לדרגה של המטריצה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [A|\bold{b}]} , המתקבלת מהוספת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bold{b}} כעמודה ב-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [A]} . כלומר, הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{rank}[A]=\operatorname{rank}[A|\bold{b}]} .

כמו כן, כאשר יש פתרונות הם מהווים מרחב אפיני מממד הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n-\operatorname{rank}[A]} (הזזה של מרחב וקטורי מאותו ממד). בפרט כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=\operatorname{rank}[A]} המרחב הוא אפס ממדי ויש פתרון אחד בלבד. אחרת, יש אינסוף פתרונות.

הוכחה

חלק ראשון

הוכחה כי למערכת המשוואות קיים פתרון אם ורק אם הדרגה של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [A]} שווה לדרגה של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [A|\bold{b}]} .

כיוון אחד של השקילות

נניח כי למערכת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\bold{x}=\bold{b}} יש פתרון הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bold{c}} . כלומר, מתקיים כי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\bold{c}=\bold{b}} .

נבטא זאת באופן מפורש:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\ \vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}c_1 + \begin{bmatrix}a_{12}\\a_{22}\\ \vdots \\a_{m2}\end{bmatrix}c_2 + \ldots +\begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\ \vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}c_n = \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\ \vdots \\b_m\end{bmatrix}}

מכאן ש-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bold{b}} הוא צירוף לינארי של העמודות של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [A]} . כלומר הוא שייך למרחב שנפרש על ידי וקטורי העמודות, ולכן ממד מרחב העמודות (הוא הדרגה של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [A]} ) נשמר כנדרש.

כיוון שני של השקילות

נניח כי הדרגה אחרי הוספת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bold{b}} זהה. כלומר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dim \mathrm{Span}(\bold{a_{1}}, \bold{a_{2}}, \ldots , \bold{a_{n}})=\dim \mathrm{Span}(\bold{a_{1}}, \bold{a_{2}}, \ldots , \bold{a_{n}}, \bold{b})} , כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bold{a_1},\bold{a_{2}},\ldots,\bold{a_n}} הם העמודות של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [A]} .

הוא תת-מרחב וקטורי של , ומכיוון שממדיהם שווים הם בהכרח שווים.[1]

הוכחנו ש-הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{Span}(\bold{a_{1}}, \bold{a_{2}}, \ldots , \bold{a_{n}}, \bold{b})=\mathrm{Span}(\bold{a_{1}}, \bold{a_{2}}, \ldots , \bold{a_{n}})} , ולכן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bold{b}} הוא צירוף לינארי של הווקטורים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bold{a_1},\bold{a_{2}},\ldots,\bold{a_n}} . מקדמי הצירוף הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {(c_1, c_2, ..., c_n)}} מהווים פתרון למערכת המשוואות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\bold{x}=\bold{b}} .

חלק שני

הוכחה כי קיים למערכת המשוואות פתרון יחיד אם ורק אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=rank[A]} .

כיוון ראשון של השקילות

נניח כי עבור המערכת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\bold{x}=\bold{b}} קיים פתרון יחיד, ונניח בשלילה כי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{rank}[A]<n} .[2]

מההנחה כי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{rank}[A]<n} נובע שעבור המערכת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\bold{x}=\bold{0}} קיימים לפחות שני פתרונות. זה עומד בסתירה להנחה שלמערכת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\bold{x}=\bold{b}} יש פתרון יחיד, כי אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bold{x}} פתרון שלה, הרי שגם אם נוסיף לו כל אחד משני הפתרונות של המערכת שערכה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bold{0}} נקבל את אותה תוצאה.

כיוון שני של השקילות

נניח כי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle rank[A]=n} , ונניח בשלילה שלמערכת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\bold{x}=\bold{b}} קיימים שני פתרונות שונים.

מהנתון הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle rank[A]=n} נובע כי למערכת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\bold{x}=\bold{0}} יש פתרון יחיד - הפתרון הטריוויאלי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \bold{0}} . אם נבחן את ההפרש של שני הפתרונות של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\bold{x}=\bold{b}} נקבל גם כן , ולכן בהכרח שני הפתרונות שווים.

הערות שוליים

  1. ^ קבוצת וקטורי הבסיס של התת-מרחב היא בלתי תלויה ומספר הווקטורים בה שווה לממד המרחב, ולכן היא פורשת גם את המרחב כולו.
  2. ^ לא ייתכן כי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{rank}[A]>n} , כי קיימים רק n איברים בקבוצה הנפרשת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{Span}(a_{1}, a_{2}, ... , a_{n})} .
סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0