סמל כריסטופל

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

סמל כריסטופל ( ) הוא קשר לוי-צ'יוויטה המהווה מקרה פרטי של קשר אפיני. לאיברי הקשר קוראים סמלי (או סימני) כריסטופל. סמל כריסטופל איננו טנזור.

הערך משתמש בהסכם הסכימה של איינשטיין.

הגדרה

סמל כריסטופל הוא קשר אפיני נובע מכך שבמערכת קואורדינטות כללית, וקטורי הבסיס אינם קבועים וכאשר גוזרים וקטור לא מספיק לגזור רק את רכיבי הווקטור אלא יש לגזור גם את וקטורי הבסיס. הקשר מבטא עובדה זו וסמלי כריסטופל מוגדרים להיות המקדמים של הצירוף הליניארי בווקטורי הבסיס של נגזרת של וקטור בסיס, כלומר:

קשר זה מאופיין באופן יחיד באמצעות שתי דרישות:

  1. הקשר קומפטיבילי עם המטריקה (כלומר: עם הטנזור המטרי של רימן). כלומר: ניתן להחליף בסדר בין גזירה קו-ואריאנטית והעלאה והורדה של אינדקסים באמצעות המטריקה. מתמטית, זה מתבטא במשוואה .
  2. הקשר הוא חסר פיתול. כלומר: ניתן להחליף את סדר הגזירה בנגזרות קו-ואריאנטיות מעורבות. מתמטית, זה מתבטא במשוואה . מכך נובע שסמל כריסטופל סימטרי בשני האינדקסים התחתונים שלו .

משתי דרישות אלה ניתן להראות שסמל כריסטופל נתון על ידי הצירוף הבא של הנגזרות הראשונות של הטנזור המטרי:

כאשר היא המטריצה ההופכית של הטנזור המטרי ויש סכימה על האינדקס (ראו הסכם הסכימה של איינשטיין).

נגזרת קו-וריאנטית

באמצעות קשר כריסטופל אפשר להגדיר את הנגזרת הקו-ואריאנטית של טנזור:

לנגזרת הקו-ואריאנטית שתי תכונות עיקריות:

  1. נגזרת קו-ואריאנטית של טנזור גם היא טנזור.
  2. וקטור שנשאר קבוע בטרנספורט מקבילי לאורך עקומה מאופיין בכך שהנגזרת הקו-ואריאנטית שלו לאורך העקומה שווה לאפס.

בפיזיקה

סמל כריסטופל מופיע בתורת היחסות הכללית והוא מבטא את הכוח שיוצר שדה גרביטציה. השפעתו על תנועתו של גוף מתבטאת בכך שגוף במרחב עקום נע בגאודזות באותו מרחב והמשוואה הגאודזית כוללת בתוכה גם את סמל כריסטופל ומושפעת ממנו

ראו גם

קישורים חיצוניים

Logo hamichlol 3.png
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0