סמל כריסטופל

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.


סמל כריסטופל ( ) הוא קשר לוי-צ'יוויטה המהווה מקרה פרטי של קשר אפיני. לאיברי הקשר קוראים סמלי (או סימני) כריסטופל. סמל כריסטופל איננו טנזור.

הערך משתמש בהסכם הסכימה של איינשטיין.

הגדרה

סמל כריסטופל הוא קשר אפיני נובע מכך שבמערכת קואורדינטות כללית, וקטורי הבסיס אינם קבועים וכאשר גוזרים וקטור לא מספיק לגזור רק את רכיבי הווקטור אלא יש לגזור גם את וקטורי הבסיס. הקשר מבטא עובדה זו וסמלי כריסטופל מוגדרים להיות המקדמים של הצירוף הלינארי בווקטורי הבסיס של נגזרת של וקטור בסיס, כלומר:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \nabla_\mu \vec{e}_\nu=\Gamma_{\mu \nu}^\rho \vec{e}_\rho}

קשר זה מאופיין באופן יחיד באמצעות שתי דרישות:

  1. הקשר קומפטיבילי עם המטריקה (כלומר: עם הטנזור המטרי של רימן). כלומר: ניתן להחליף בסדר בין גזירה קו-ואריאנטית והעלאה והורדה של אינדקסים באמצעות המטריקה. מתמטית, זה מתבטא במשוואה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \nabla_\rho g_{\mu \nu} = 0} .
  2. הקשר הוא חסר פיתול. כלומר: ניתן להחליף את סדר הגזירה בנגזרות קו-ואריאנטיות מעורבות. מתמטית, זה מתבטא במשוואה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (\nabla_\mu \nabla_\nu - \nabla_\nu \nabla_\mu ) \phi = 0} . מכך נובע שסמל כריסטופל סימטרי בשני האינדקסים התחתונים שלו הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Gamma^{\mu}_{\sigma \rho} = \Gamma^{\mu}_{\rho \sigma}} .

משתי דרישות אלה ניתן להראות שסמל כריסטופל נתון על ידי הצירוף הבא של הנגזרות הראשונות של הטנזור המטרי:

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \Gamma^{\mu}_{\sigma \rho} = \frac{1}{2} g^{\mu \nu} \left( \frac{\partial g_{\sigma \nu}}{\partial x^{\rho}} + \frac{\partial g_{\rho \nu}}{\partial x^\sigma} - \frac{\partial g_{\sigma \rho}}{\partial x^\nu} \right)}

כאשר היא המטריצה ההופכית של הטנזור המטרי ויש סכימה על האינדקס הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \nu} (ראו הסכם הסכימה של איינשטיין).

נגזרת קו-וריאנטית

באמצעות קשר כריסטופל אפשר להגדיר את הנגזרת הקו-ואריאנטית של טנזור:

  • הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ \nabla _{\mu }A^{\nu }=\partial _{\mu }A^{\nu }+\Gamma _{\mu \rho }^{\nu }A^{\rho }}
  • הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \nabla_\mu B_\nu = \partial_\mu B_\nu - \Gamma^{\rho}_{\mu \nu} B_\rho}

לנגזרת הקו-ואריאנטית שתי תכונות עיקריות:

  1. נגזרת קו-ואריאנטית של טנזור גם היא טנזור.
  2. וקטור שנשאר קבוע בטרנספורט מקבילי לאורך עקומה מאופיין בכך שהנגזרת הקו-ואריאנטית שלו לאורך העקומה שווה לאפס.

בפיזיקה

סמל כריסטופל מופיע בתורת היחסות הכללית והוא מבטא את הכוח שיוצר שדה גרביטציה. השפעתו על תנועתו של גוף מתבטאת בכך שגוף במרחב עקום נע בגאודזות באותו מרחב והמשוואה הגאודזית כוללת בתוכה גם את סמל כריסטופל ומושפעת ממנו

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{ d^2 x^\mu}{d \tau ^2} + \Gamma^{\mu}_{\sigma \rho} \frac{ dx^\sigma}{d \tau} \frac{ dx^\rho}{d \tau} = 0 \quad ; \quad d \tau ^2 = - g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu}

ראו גם