הסכם הסכימה של איינשטיין

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

הסכם הסכימה של איינשטיין הוא סימון מקוצר המשמש בחשבונות הכוללים אנליזה מתמטית ואלגברה של טנזורים. הסימון הומצא על ידי הפיזיקאי אלברט איינשטיין בשנת 1916.

הקדמה

בפיזיקה, טנזור הוא עצם שיש בו מספר ערכים, והם עשויים להשתנות תחת הפעלת טרנספורמציה – אך תכונות מסוימות שלו צפויות להישמר, בעזרת כללים מסוימים שהוא מציית להם. הטנזור מאופיין בערכי רכיביו ובדרגה שלו: נוח לחשוב על דרגתו של טנזור כעל מספר האינדקסים החופשיים שלו.[1] למשל: את הווקטור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \vec{v} = \left(v_x,v_y,v_z\right) } במרחב האוקלידי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{R}^3} ניתן לכתוב בצורה הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle v^{\mu }} , והאינדקס הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu} מקבל את הערכים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu=x,y,z} או הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu=1,2,3} .[2] הביטוי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v^\mu} מייצג את הווקטור כקבוצה, וכדי לקבל את רכיבי הווקטור יש להציב ערכים באינדקס. למשל, בהצבת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu=2} , יתקבל .[3] אינדקס כזה נקרא "אינדקס חופשי".

לטנזור יכולים להיות שני סוגי אינדקסים: אינדקסים עליונים ("קונטרה־ואריאנטיים", למשל: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A^\mu} ) ואינדקסים תחתונים ("קו־ואריאנטיים", למשל: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_\mu} ). אינדקס תחתון מוגדר באמצעות המטריקה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ g_{\lambda \rho}} של המרחב שבו שוכן הטנזור:הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_\lambda = \sum_\rho g_{\lambda \rho} a^\rho} לטנזור מסוים יכולים להיות בו זמנית אינדקסים משני הסוגים גם יחד. למשל, לטנזור יש שני אינדקסים קונטרה־ואריאנטיים ואינדקס אחד קו־ואריאנטי.

הסכם הסכימה

לפי הסכם הסכימה, כאשר מופיע בביטוי טנזורי אותו אינדקס פעמיים – פעם אחת למעלה ופעם אחת למטה – האינדקס קשור (אינו חופשי), ויש לסכום את הביטוי על כל הערכים האפשריים שלו. למשל: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^\lambda b_\lambda \equiv \sum_{\lambda}{a^\lambda b_\lambda}} כאשר הסכום רץ על כל הערכים האפשריים שהאינדקס יכול לקבל.

לחלופין, בעזרת הגדרת הווקטור הקו־וריאנטי, ניתן לכתוב:הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^\mu b_\mu \equiv a^\mu \sum_\nu g_{\nu \mu}b^\nu\equiv\sum_{\mu,\nu}g_{\mu \nu}a^\mu b^\nu}

עבור מרחב אוקלידי שטוח, המטריקה שווה למטריצת היחידה: הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g_{ij} = \delta_{ij} = \delta^i_j} (הסימן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \delta_{ij}} הוא הדלתא של קרונקר), ולכן בפועל אין הבדל בין אינדקסים עליונים לאינדקסים תחתונים. במרחבים טנזוריים כלליים אין זה נכון, ויש להקפיד על מיקומו של האינדקס. לדוגמה, בתורת היחסות הפרטית, שבה המטריקה היא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)} , תוצאת סכימה יכולה להיות:

ראו גם

הערות שוליים

  1. ^ בהרבה מקרים פשוטים, זהו אכן המצב, אך לא תמיד.
  2. ^ סימון בעזרת מספרים מקובל יותר, ונחשב נוח יותר. במקרה כזה, נהוג להתאים בין הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ל־1, בין הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} ל־2 ובין הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z} ל־3.
  3. ^ כאן, 2 איננו מייצג חזקה אלא את האינדקס.