עקרון קאוואליירי

בגאומטריה, עקרון קאוואליירי מספק דרך להראות שלשני גופים גאומטריים יש אותו השטח או הנפח. ביתר פירוט העקרון קובע כי:

• במישור הדו-ממדי - נניח כי שתי צורות מצויות בין שני ישרים מקבילים. אם כל ישר המקביל לשני הישרים האלו חותך את שתי הצורות בקטעים באורך זהה, אז שתי הצורות הן בעלות שטח זהה.
• במרחב התלת ממדי - נניח כי שני גופים מצויים בין שני מישורים מקבילים. אם כל מישור המקביל לשני המישורים האלו חותך את שני הגופים בחתכים מישוריים בעלי שטח זהה, אז שני הגופים הם בעלי נפח זהה.

עקרון קאוואליירי קרוי על שם המתמטיקאי האיטלקי בונאוונטורה קאוואליירי שהציג אותו ב-1635 והשתמש בו למציאת שטחיהם ונפחיהם של גופים רבים. עם זאת המתמטיקאי הסיני דְזוּ גֶנְג עשה בו שימוש עוד במאה ה-5 למציאת הנוסחה לנפח כדור.

קאוואליירי קבע את נכונות העקרון בהסתמך על ראיית החתכים כגופים בעלי עובי אינפיניטסימלי שסכום שטחיהם או נפחיהם שווה לשטח או נפח הגוף כולו. הבחנה זו נחשבת לצעד חשוב בהיסטוריה של החשבון האינפיניטסימלי בדרך לאינטגרציה. מכיוון שהחשבון האינפיניטסימלי טרם פותח באותה העת, ובהיעדר הגדרה פורמלית לשטח ונפח, הוכחה ריגורוזית של העקרון לא הייתה בגדר האפשר בתקופתו של קאוואליירי. באנליזה מתמטית מודרנית עקרון קאוואליירי מתקבל כמסקנה של משפט פוביני.

הרעיונות של קאוואליירי על חתכים אינפיניטסימליים הובילו אותו בין השאר לגילוי הנוסחה המוכרת לאינטגרציה של מונומים (פונקציות מהצורה $x^{n}$ ל-n טבעי). נוסחה זו ידועה כיום כנוסחת האינטגרציה קאוואליירי.

שימושים

נפח פירמידה

לפי עקרון קאוואליירי לכל הפירמידות שיש להן אותו הגובה ולבסיס שלהן אותו השטח, יש נפח זהה. הבסיס אפילו אינו חייב להיות מצולע (למשל אם הוא מעגל, הפירמידה היא חרוט).

נניח כי לפירמידה כלשהי יש בסיס ששטחו $S$ וגובה $h$. מהגדרת הפירמידה, כל חתך מישורי דרכה המקביל לבסיסה, דומה לבסיסה. מכיוון שהפרמידה מוגדרת על ידי מתיחת קווים ישרים, יחס הדמיון משתנה באופן ליניארי ביחס לגובה החתך מעל הבסיס. למעשה אם גובה החתך מעל הבסיס הוא $y$ אז יחס הדמיון הוא ${\tfrac {h-y}{h}}$. מתכונות יחס הדמיון ידוע לנו שהיחס בין שטח החתך לשטח הבסיס נתון על ידי יחס הדמיון בריבוע. כלומר שטח החתך הוא ${\tfrac {S(h-y)^{2}}{h^{2}}}$.

קיבלנו ששטח חתך מישורי של פירמידה המקביל לבסיס תלוי רק בשטח הבסיס, גובה הפירמידה וגובה החתך. נמקם את שני הבסיסים של שתי פירמידות עם אותו שטח בסיס וגובה, על אותו מישור, ונעביר מישור נוסף מקביל לו דרך קודקודיהן. לפי התכונה שהוכחנו זה עתה, לכל חתך מישורי מקביל למישורים אלו שנעביר דרכם, יתקבל חיתוך עם שטח זהה לכל אחד מהגופים. לכן לפי עקרון קאוואליירי נפח שתי הפירמידות זהה.

כעת ניתן להסיק את הנוסחה לנפח פירמידה כלשהי. כפי שאוקלידס הוכיח, כל מנסרה משולשת (בעלת בסיס משולש) ניתן לחלק לשלושה ארבעונים (פירמידות עם בסיס משולש), כך שלמנסרה ולשלושת הארבעונים אותו שטח בסיס וגובה. לפי השקילות שהוכחנו, לכל שלושת הארבעונים אותו הנפח, ומכאן שנפח הארבעון הוא שליש נפח המנסרה. אם לארבעון ולמנסרה יש בסיס ששטחו $S$ וגובה $h$, אז נפח הארבעון הוא ${\tfrac {1}{3}}Sh$. מכיוון שהוכחנו שלכל פירמידה עם שטח בסיס וגובה זהים יש אותו נפח, זוהי נוסחה כללית לנפח של כל פירמידה.

למעשה הוכחת התוצאה הזו מחייבת את השימוש בעקרון קאוואליירי או בטיעון אינפיניטסימלי דומה. שכן פתרון הבעיה השלישית של הילברט קובע שלא ניתן להוכיח שוויון נפחים של פירמידות (אפילו עם בסיס מצולע) על ידי פירוק סופי לפאונים חופפים. קושי שכזה לא מופיע במקרה של שטחים במקום נפחים.

נפח כדור

תרשים של ההוכחה

מכיוון ששטחו של עיגול עם רדיוס $r$ הוא $\pi r^{2}$, מקבלים מהסעיף הקודם שנפח חרוט שגובהו $h$ הוא ${\tfrac {1}{3}}\pi r^{2}h$. באמצעות עובדה זו ועקרון קאוואליירי ניתן למצוא את נפחו של כדור.

נניח כי לכדור רדיוס $r$. נמקם גליל שרדיוסו $r$ וגובהו $r$ כך שבסיסו התחתון שוכן על אותו מישור עם מעגל גדול של הכדור (כמודגם באיור). נגדיר חרוט ישר כך שבסיסו הוא הבסיס העליון של הגליל וקודקודו שוכן על הבסיס התחתון של הגליל. נשווה את החצי העליון של הכדור לגוף המתקבל מהגליל לאחר שמסירים ממנו את החלל שבתוך החרוט (נקרא לגוף זה "גליל מנוקב").

נבחן חתך מישורי העובר דרך הכדור והגליל המנוקב וגובהו מעל הבסיס התחתון של הגליל המנוקב הוא $y$. נחשב את שטח החיתוך של החתך עם כל אחד משני הגופים. החיתוך של החתך עם הכדור הוא מעגל, שלפי משפט פיתגורס רדיוסו ${\sqrt {r^{2}-y^{2}}}$, ולכן שטחו $\pi (r^{2}-y^{2})$. מצד שני, חיתוך החתך עם הגליל המנוקב הוא טבעת שנוצרת על ידי הסרת עיגול החיתוך של החתך עם החרוט, מעיגול החיתוך של החתך עם הגליל. רדיוס עיגול החיתוך של החרוט הוא $y$ (שכן רדיוס וגובה החרוט זהים, ומכאן שגבולות החרוט מצויים בזווית של 45 מעלות עם הגובה, ויוצרים משולש שווה-שוקיים שהשוק שלו $y$.), ואילו רדיוס עיגול החיתוך של הגליל הוא $r$. מכאן שהשטח הטבעת הוא $\pi r^{2}-\pi y^{2}=\pi (r^{2}-y^{2})$.

קיבלנו שכל חתך מישורי המקביל לבסיס הגליל חותך את שני הגופים בשטח זהה, ולכן לפי עקרון קאוואליירי נפחי הגופים זהים. מכאן שנפח חצי הכדור הוא כנפח הגליל המנוקב. נפח הגליל המנוקב מתקבל מההפרש שבין נפח הגליל לנפח החרוט המוסר מתוכו: $\pi r^{2}\cdot r-{\tfrac {1}{3}}\pi r^{2}\cdot r={\tfrac {2}{3}}\pi r^{3}$. נפח הכדור כולו הוא פעמיים הנפח הזה, כלומר ${\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}$.

בעיית חובק המפיות

נפחם של כל חובקי המפיות באותו גובה זהה. כאשר מגדילים את הכדור היקף החובק עולה, אבל עוביו יורד. שתי ההשפעות מתקזזות.

עקרון קאוואליירי משמש כדי לפתור בעיה הידועה כ"בעיית חובק המפיות". אם לוקחים כדור וקודחים דרכו חור עם מקדח גלילי הצורה שנוצרת היא מן טבעת סביב מרכז הכדור המזכירה בצורתה חובק מפיות. בעיית חובק המפיות שואלת מה נפח הטבעת, והתשובה המפתיעה היא שהנפח תלוי רק באורך החור, ולא ברדיוס הכדור.

נניח שבתוך כדור שרדיוסו $r$ חוסמים גליל שגובהו $h$. "חובק מפיות" שאת נפחו אנו מחשבים הוא הנפח שבתוך הכדור ומחוץ לגליל ולחלקי הכדור (שצורתם כיפה) שמעל ומתחת לגליל. חובק המפיות הוא למעשה הנפח שמסביב לחור הגלילי. ממשפט פיתגורס נקבל שרדיוס הגליל הוא:

${\sqrt {r^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}}}$

נבחן חתך מישורי דרך חובק המפיות שעובר בגובה $y$ מעל המעגל הגדול של הכדור המקביל לבסיס הגליל ("קו המשווה" של הכדור). שטח החיתוך יהיה טבעת השווה לשטח החיתוך עם הכדור פחות שטח החיתוך על הגליל. שטח החיתוך עם הכדור ידוע לנו מהסעיף הקודם, ולכן נקבל:

$\pi (r^{2}-y^{2})-\pi \left(r^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\right)=\pi \left(\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}-y^{2}\right)$

זהו בדיוק שטח החיתוך של חתך מישורי בגובה $y$ עם כדור שרדיוסו ${\tfrac {h}{2}}$ מעל המעגל הגדול שלו. לכן לפי עקרון קאוואליירי לחובק המפיות יש נפח זהה לנפח כדור זה, כלומר נפחו:

${\frac {4}{3}}\pi \left({\frac {h}{2}}\right)^{3}={\frac {\pi h^{3}}{6}}$

נשים לב כי נפח זה כלל לא תלוי ברדיוס הכדור, כלומר נפחם של כל חובקי המפיות מאותו גובה תמיד זהה, ללא קשר לגודל הכדור.

שטח תחת ציקלואידה

כל מיתר במעגל המקביל לישרים מתקבל בדיוק פעם אחת כקו הנמתח בין שתי נקודות מקבילות בשתי ציקלואידות.

נשתמש בעקרון קאוואליירי למציאת השטח הכלוא מתחת ציקלואידה. נניח כי הציקלואידה נוצרת על ידי מעגל מתגלגל ברדיוס $r$. נמתח שני ישרים מקבילים אופקיים המשיקים למעגל. המעגל יכול להתגלגל בשני האופנים הבאים: הוא יכול להתגלגל ימינה על הישר התחתון בכיוון השעון, ויכול להתגלגל ימינה כנגד כיוון השעון על הישר העליון (המעגל נמצא תחת הישר העליון, ומתנהג כאילו הוא מתגלגל הפוך על תקרה). בשני המקרים נגלגל את המעגל חצי סיבוב. כל אחד מצורות הגלגול יוצרת ציקלואידה, ושתי הציקלואידות נפגשות בקצוות ויוצרות צורה סוגרה. לא משנה כיצד מגלגלים את המעגל, בשני המקרים לאחר שהוא יעבור זווית מסוימת הוא יימצא באותו מקום, ולכן מכיוון שהנקודות המתוות את הציקלואידה בשני המקרים התגלגלו אותה זווית, הן יהיו באותו הגובה. הקו המחבר את שתי הנקודות מקביל לשני הישרים עליהם מתגלגלים, ומכיוון ששתי הנקודות מצויות על המעגל המתגלגל, הישר המחבר אותן הוא מיתר במעגל המקביל לישרים. לכן לפי עקרון קאוואליירי השטח בין הציקלואידות שווה לשטח המעגל.

קיבלנו שהשטח בין הציקלואידות הוא $\pi r^{2}$. שטח המלבן החוסם את שתי הציקלואידות (המסגרת של האיור) הוא $\pi r\cdot 2r=2\pi r^{2}$. כלומר השטח בין הציקלואידות הוא מחצית שטח המלבן. ומכאן שכל אחד מהחלקים במלבן שמעל ומתחת לציקלואידות, שטחיהם ${\frac {1}{2}}\pi r^{2}$. נחבר את השטח שמתחת לציקלואידה התחתונה ונכפיל ב-2 כדי לקבל את השטח מתחת לציקלואידה שלמה (שכן אנו עסקנו עד כה רק בחצאי ציקלואידה). נקבל:

$2(\pi r^{2}+{\frac {1}{2}}\pi r^{2})=3\pi r^{2}$

לקריאה נוספת

• Struik, J. D. (1969), A Source Book in Mathematics, 1200-1800, p. 209-219, Harvard University Press, מסת"ב 0691023972

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא עקרון קאוואליירי בוויקישיתוף

• עקרון קאוואליירי, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

34843531עקרון קאוואליירי