פונקציה ממעלה שלישית

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

פונקציה ממעלה שלישית היא פונקציה ממשית (בדרך כלל), המתוארת על ידי משוואה מהצורה y=f(x) , כאשר f הוא פולינום ממעלה שלישית:

f(x)=ax3+bx2+cx+d

נקודות הקיצון של הגרף נמצאות בפתרונות של המשוואה (התאפסות נגזרת הפונקציה):

f(x)=3ax2+2bx+c=0

לכן יש נקודות קיצון אם ורק אם b2>3ac . לגרף יש נקודת פיתול אחת, בנקודה x=b3a ; נקודות הקיצון, אם הן קיימות, נמצאות במרחק שווה משני צדיה של נקודת הפיתול. גם העקמומיות של הגרף שווה בשתי נקודות הקיצון, וערכה 2b23ac . את נקודות החיתוך עם ציר ה-x אפשר למצוא על ידי פתרון משוואה ממעלה שלישית: f(x)=0 .

צורתו הסכימטית של גרף הפונקציה תלויה בשני גורמים: הסימן של המקדם המוביל a , וקיומן או היעדרן של נקודות קיצון. על ידי החלפת משתנים לינארית של x ושל y (כלומר הצבת ביטוי מהצורה Ax+B במקום x וביטוי מהצורה Cy+D במקום y), אפשר להביא (מעל הממשיים) כל פונקציה ממעלה שלישית לאחת הצורות y=x3+x (אין נקודות קיצון), y=x3x (שתי נקודות קיצון) ו־y=x3 (נקודת קיצון אחת, המתלכדת עם נקודת הפיתול).

ראו גם

פונקציה_ממעלה_שלישית18405913Q16667694