שורש ריבועי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
גרף המייצג .

שורש ריבועי של מספר a כלשהו הוא מספר, שאם מכפילים אותו בעצמו מקבלים את a. הפעולה החישובית של מציאת השורש הריבועי נקראת הוצאת שורש ריבועי. מכל השורשים, השורש הריבועי נקרא דווקא כך בגלל משמעותו הגאומטרית: אם a הוא שטחו של ריבוע, אז אורך צלעו של הריבוע שווה לשורש הריבועי של a. כאשר ההקשר ברור, השורש הריבועי מכונה לעיתים גם שורש.

למספר חיובי יש שני שורשים ריבועיים ממשיים: למשל, למספר 100 יש את השורשים 10 ומינוס 10, אשר כל אחד בריבוע מחזיר 100. על כן, כאשר מדובר על השורש הריבועי של מספר הכוונה היא בדרך כלל לשורש החיובי שלו. השורש הריבועי מסומן כך: .

למספרים ממשיים שליליים אין שורש ריבועי ממשי (מכיוון שכל מספר ממשי שמוכפל בעצמו נותן תוצאה חיובית, בין אם הוא שלילי ובין אם הוא חיובי). המספרים המרוכבים פותחו בין היתר על מנת לתת מענה לבעיה זו: במספרים המרוכבים יש שני שורשים ריבועיים לכל מספר (ממשי או מרוכב).

שימוש הלכתי

אלא אמרה תורה טול חמשים - שארכו יתר על רחבו וסבב חמשים הנותרים דהוו להו שבעים אמות וד' טפחים מרובעין כיצד עשה מהן חמש רצועות של עשר אמה רוחב וארכן חמשים השכב האחת למזרח והאחת למערב הרי רחבה שבעים וארכה חמשים עוד שים אחת לצפון ואחת לדרום הרי שבעים על שבעים אלא שהקרנות פגומין לכל קרן וקרן עשר על עשר מפני התוספת שהוספת טול מן החמשים ארבע חתיכות של י' על י' ושים בארבע קרנות ונתמלאו נשארה רצועה אחת של עשר על עשר אמות שהיא ששים טפחים על ששים טפחים ועשה אותן ל' רצועות של שני טפחים (הרי ל' רצועות אורך כל אחת ואחת עשר אמה) שכולן הן ג' מאות אמות תן ע' לכל רוח הרי שבעים וד' טפחים על שבעים וד' טפחים אלא שהקרנות פגומין טפחיים על טפחיים נשארו בידך עשרים אמה טול מהן שמונה טפחים ושים לקרנות ונתמלאו ונשארו בידך י"ח אמה וד' טפחים ברוחב טפחיים והיינו דבר מועט שאם באת לחלקו ולהקיף בהן אין מגיע התוספת לרוחב ב' שלישי אצבע דהא בעית למעבד מיניה רצועה של רפ"ג אמות וד' טפחים אורך להקיף ארבע הרוחות:

רש"י עירובין כ"ג ע"ב

כאן נמצאת גם שיטה למציאת שורש ריבועי (של 5000).
הדיון הוא על גודל שטח שאסור לטלטל בתוכו אפילו אם הוא מוקף. ודעת רבי יהודה שרוחב הריבוע הוא יותר במעט משבעים אמה ושני שלישי אמה. הגמרא מוכיחה את זה מהפסוק חמישים בחמישים שנדרש שיש להקיף את הריבוע של חמישים על חמישים בריבוע השני שנשאר ולעשות מהם ריבוע גדול.

תכונות

השורש הממשי

הפונקציה , שנקראת פונקציית השורש (הריבועי), היא פונקציה חד-חד-ערכית ועל מהמספרים הממשיים האי-שליליים לעצמם. פונקציה זו היא רציפה בכל מקום שבו היא מוגדרת, וגזירה עבור כל מספר חיובי. בנקודה פונקציית השורש לא גזירה (גם לא באופן חד-צדדי), והנגזרת שלה שואפת לאינסוף, כאשר המשתנה שואף לאפס.
פונקציית השורש משמרת את פעולת הכפל ואת פעולת החילוק, כלומר:

לכל
לכל

לעומת זאת, פונקציית השורש בדרך כלל לא משמרת חיבור, כלומר:

קל לראות ששוויון מתקבל אם ורק אם כלומר אחד המספרים, או שניהם הוא אפס.

השורש המרוכב

במספרים המרוכבים, לכל מספר יש שני שורשים. בניגוד למספרים הממשיים, במישור המרוכב אין דרך להגדיר מספר חיובי ולכן לא ניתן להחזיר תמיד את "השורש החיובי" כמו שאפשר לעשות במספרים הממשיים, ולכן הבחירה איזה שורש מהשורשים מיוצג בפונקציה היא שרירותית. ההגדרה המקובלת לפונקציית השורש במספרים המרוכבים היא באמצעות פונקציות האקספוננט והלוגריתם הטבעי המרוכבות, בהתאם להגדרת החזקה המרוכבת:

הגדרה זו למעשה מעבירה את נקודת ההחלטה לבחירת הענף של הלוגריתם, כאשר שינוי הענף יוסיף למעריך החזקה ולכן יכפיל את השורש ב 1-.

במספרים המרוכבים, פונקציית השורש לא רציפה בכל המישור, כיוון שפונקציית הלוגריתם איננה רציפה. מהסיבה הזו הנוסחאות הרגילות של מכפלת שורשים ומנת שורשים לא בהכרח מתקיימות. לדוגמה:

פיתוח לטור טיילור

נוסחת הבינום של ניוטון נותנת את טור טיילור , המתכנס עבור .

ראו גם