שני כדורים במסות m ו- M (כאשר 
) מונחים על מסילה אופקית ישרה וחסרת חיכוך. בסוף המסילה נמצא קיר אנכי. הכדורים ממוקמים על המסילה כך שהכדור שמסתו m קרוב יותר לקיר. מעניקים לכדור שמסתו M מהירות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_0}
בכיוון הכדור השני. כתוצאה מההתנגשות הכדור הקטן נרתע, פוגע בקיר וחוזר ממנו באותה המהירות, לאחר מכן פוגע בכדור הכבד שוב, לאחר מן מוחזר מהקיר שוב, וחוזר חלילה. הנח שכל ההתנגשויות אלסטיות לחלוטין. השאלה היא: כמה התנגשויות יתרחשו עד שההתנגשויות בין הכדור הקטן והקיר ובין שני הכדורים ייפסקו? בחישוב מספר ההתנגשויות מנה גם את ההתנגשויות בין הכדורים.
| פתרון
|
| נגדיר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha = arctan(\sqrt {{\frac{{M}} {{m}}}})}
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta_0 = \pi - 2\alpha}
והתשובה מתקבלת על ידי פונקציית הרצפה הבאה : הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2([\frac {{\alpha}}{{\theta_0}}] + 1) + 1}
.
הסבר: נציג את מצב המערכת במרחב פאזה עם שני צירים - אחד מייצג את מהירות הכדור הגדול והשני מייצג את מהירות הכדור הקטן. מצב של המערכת, כלומר צמד מהירויות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (V_M,V_m)}
, מיוצג על ידי נקודה במישור הזה. בכל התנגשות של הכדורים התנע והאנרגיה נשמרים. האנרגיה נשמרת לאורך כל המסלול במרחב הפאזה שהמערכת עוברת, בניגוד לתנע שנשמר רק בהתנגשויות בין הכדורים. אוסף כל הנקודות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (V_M,V_m)}
שמקיימות שסך האנרגיה הקינטית של שני הכדורים שווה לאנרגיה ההתחלתית E של המערכת מקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {{1}}{{2}}(mV_m^2 + MV_M^2) = E = \frac {{1}}{{2}}MV_0^2}
. עקום שווה אנרגיה זה הוא אליפסה עם אורכי צירים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2V_0, 2V_0\sqrt{{\frac{{M}} {{m}}}}}
. באופן דומה ניתן לשרטט עבור ההתנגשות בין הכדורים קווים ישרים שווי תנע שמשוואתם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle mV_m + MV_M = -MV_0}
. המסלול במרחב הפאזה שהמערכת של שני הכדורים עוברת מתקבל על ידי הפעלה לסירוגין של שתי הפעולות הבאות:
- חיתוך של קו שווה תנע ששיפועו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\frac{{M}} {{m}}}
עם העקום שווה האנרגיה שמייצג את המערכת.
- שיקוף של מצב המערכת יחסית לציר ה-
 , המייצג את העובדה שמהירות הכדור הקטן מתהפכת בכיוונה עקב ההתנגשות עם הקיר, בעוד מהירות הכדור הגדול נשארת זהה.
כעת נותר לנתח את הגאומטריה של הבעיה. כדי לפשט את הגאומטריה של הבעיה נדחס את האליפסה שהתקבלה למעגל שרדיוסו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_0}
(באמצעות טרנספורמציית כיווץ פי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt {{\frac{{M}} {{m}}}}}
בציר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_m}
), ונקבל ששיפוע הקווים שווי התנע הוא כעת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\sqrt {{\frac{{M}} {{m}}}}}
. הזווית שקו שווה תנע זה יוצר עם ציר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_M}
היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \alpha = arctan(\sqrt {{\frac{{M}} {{m}}}})}
. הזווית המרכזית במעגל המתאימה לקו שווה התנע שמחבר בין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (-V_0,0)}
לנקודה המייצגת את מצב המערכת אחרי ההתנגשות הראשונה היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta_0 = \pi - 2\alpha}
. עקב פעולת השיקוף זווית זו עוברת ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle -\theta_0}
. לאחר מכן ניתן להסיק מגאומטריה, שהזווית המרכזית המתאימה למיתר שמחבר בין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (-V_0,0)}
למצב המערכת אחרי ההתנגשות השנייה בין הכדורים היא:  , ובאופן דומה הזווית המרכזית המתקבלת אחרי n התנגשויות בין הכדורים היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\theta_0}
. הפעולות נעצרות כאשר הנקודה המייצגת את מצב המערכת נמצאת בין הציר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_M}
לקו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_m = -\sqrt {{\frac{{m}} {{M}}}}V_M}
, מה שאומר שתחת מתיחה בחזרה לאליפסה המקורית הנקודה תימצא בין ציר ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_M}
לקו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V_m = -V_M}
, מה שאומר שמהירות שני הכדורים חיובית ומהירות הכדור הגדול גבוהה ממהירות הכדור הקטן (לכן אין עוד התנגשויות). התוצאה המתקבלת היא:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2([\frac {{\alpha}}{{\theta_0}}] + 1) + 1}
.
|
|