פורטל:מתמטיקה

רענון הפורטל כיצד אוכל לעזור?    

עריכהמבוא

המתמטיקה מוגדרת לעתים קרובות כלמידת הדפוסים והתבניות של מבנה, שינוי ומרחב, ואפיונם. מנקודת מבט מודרנית, מתמטיקה היא השימוש בלוגיקה פורמלית לחקירת מערכות ומבנים מופשטים שהוגדרו אקסיומטית.

מוצאם של רוב המבנים הנחקרים במתמטיקה הוא ממדעי הטבע, לרוב מפיזיקה, אך מתמטיקאים מרבים להגדיר ולחקור מבנים מסיבות פנימיות לחלוטין למתמטיקה עצמה, למשל לשם ביצוע הכללה מאחדת של תחומים מתמטיים אחדים או ככלי שימושי לביצוע חישובים. יש אפוא מתמטיקאים רבים שחוקרים תחומים מסוימים מסיבות אסתטיות לחלוטין, בראיית המתמטיקה כאמנות במידת מה יותר מכמדע שימושי.

לערך המלא

עריכהאנחנו ממליצים

עריכהערכים מומלצים במתמטיקה אריתמטיקה - חזקה (מתמטיקה) - חידות חיתוך והרכבה - מגדלי האנוי - מערכות מספרים - משפט פיתגורס - משפט קנטור - קבוצת קנטור - קריפטוגרפיה עריכהמאמר נבחר באנליזה מתמטית, זהות אוילר, הקרויה על שמו של המתמטיקאי השווייצרי הידוע לאונרד אוילר, היא השוויון הבא: $e^{\pi i}+1=0$ כל אברי הזהות הם מספרים קבועים: e הוא בסיס הלוגריתם הטבעי. π הוא היחס בין היקף המעגל לקוטרו. i הוא היחידה המדומה, מקיים: $i^2=-1$ זהות אוילר נחשבת בעיני רבים כזהות יוצאת דופן בשל יופיה המתמטי, הנובע מהפעולות הבסיסיות שהיא משלבת בתוכה (חיבור, כפל והעלאה בחזקה) ומהקבועים המתמטיים הבסיסיים שהיא מקשרת ביניהם. לערך המלא לרשימה המלאה

עריכהמומלצי פורטל נוספים אוריינטציה - אי-שוויון הממוצעים - אי-שוויון קושי-שוורץ - בקבוק קליין - המשפט היסודי של האלגברה - המשפט היסודי של האריתמטיקה - השערת גולדבך החלשה - השערת פואנקרה - טופולוגיה - יריעה אלגברית - ערך עצמי - פאון משוכלל עריכהמתמטיקאי נבחר ג'ון פורבס נאש ג'ון פורבס נאש הבן (13 ביוני 1928 - 23 במאי 2015), מתמטיקאי אמריקאי המתמחה בתורת המשחקים וגאומטריה דיפרנציאלית. בשנת 1994 קבל פרס נובל לכלכלה, עבור עבודתו החלוצית משנות ה-50 בתורת המשחקים. עם הישגיו האקדמיים הבולטים נמנים פתוח 'שיווי משקל נאש' ופתרון 'בעיית המיקוח של נאש', המהווים מושגי יסוד בפתרון בעיות 'משחקים שיתופיים' ו'משחקים אי-שיתופיים' בתורת המשחקים בתחומי הכלכלה, הביולוגיה ומדע המדינה. הקריירה האקדמית המזהירה של נאש עומדת בצל מחלת הסכיזופרניה, שבה לקה בסמוך לפריצתו כמתמטיקאי מחונן בשנות ה-50. בשל המחלה נפסקה הקריירה האקדמית של נאש למשך כ-30 שנה (1966-1996) ורק בשנות ה-90 שב לחקר המתמטיקה. נאש נולד בבלופילד שבמערב וירג'יניה, בן לג'ון נאש האב, טכנאי אלקטרוניקה, ווירג'יניה מרטין, מורה לשפות. בשנים (1945-1948) למד לתואר ראשון ושני במכון הטכנולוגי קרנגי בפיטסבורג, פנסילבניה (כיום אוניברסיטת קרנגי מלון), והוכתר על ידי מוריו כגאון. ב-1950 קבל נאש תואר דוקטור מאוניברסיטת פרינסטון על חיבורו "משחקים אי-שיתופיים". בעבודה זו פיתח לראשונה את פתרונו הבסיסי למשחקים אי-שיתופיים שזכה מאוחר יותר לכינוי 'שיווי משקל נאש'. 40 שנה מאוחר יותר, ב-1994, זיכתה אותו עבודתו זו משנותיו הראשונות בפרינסטון בפרס נובל לכלכלה. על עבודה זו קיבל נאש ב-1978 גם את פרס ג'ון פון ניומן לתאוריה. לערך המלא לרשימת הביוגרפיות המלאה

עריכהאיך נראית מתמטיקה?

עריכהתמונה נבחרת "עקומת פרפר טרנסצנדנטלית" היא עקום המתואר על ידי הפרמטריזציה $x=\sin (t)(e^{\cos (t)}-2\cos (4t)-{\sin }^5\left(\frac{t}{12}\right))$ $y=\cos (t)(e^{\cos (t)}-2\cos (4t)-{\sin }^5\left(\frac{t}{12}\right))$ או על ידי המשוואה הקוטבית $r=e^{\sin \theta }-2\cos (4\theta )+{\sin }^5\left(\frac{2\theta -\pi }{24}\right)$. לגלריית התמונות

עריכהאנימציה נבחרת אנימציה המדגימה את הרעיון העומד מאחורי משולש פסקל המאפשר חישוב של המקדמים הבינומיים. לגלריית האנימציות

עריכהרוצים לשמוע משהו מסקרן?

עריכההידעת?

צלמית המסמלת יממה

האם אתם יודעים מה גילכם המדויק ביממות? דהיינו, כמה יממות בדיוק חלפו בין התאריך בו נולדתם לבין התאריך של היום? אילו כל שנה הכילה בדיוק 365 יממות, וכל חודש הכיל בדיוק 30 יממות, סביר שהייתם יכולים לחשב בקלות, יחסית, את גילכם ביממות. גם אם בדיוק אחת לארבע שנים הייתה מכילה יממה נוספת, החישוב עוד היה קל. אלא שמתוך כל 400 שנה רק 97 שנים מכילות יממה נוספת, ומספר היממות בכל חודש, לפי סדר החודשים, הוא: 31, 28 או 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31. חישוב מספר היממות בין שני תאריכים נעשה אפילו מסובך יותר, אם אחד התאריכים מלפני שנת 1582 והשני אחריה, כי רק בשנה זו הונהג הלוח הגרגוריאני. דהיינו, לפני שנה זו, בדיוק כל שנה רביעית הכילה יממה נוספת. מה גם, שבמסגרת המעבר אל הלוח הגרגוריאני, שנת 1582 התקצרה. היום הבא אחרי יום חמישי, ה-4 באוקטובר 1582, היה יום שישי, ה-15 באוקטובר 1582. למעשה, הבעיה מסובכת עוד יותר. בחלק ממדינות העולם, הלוח הגרגוריאני הונהג מאוחר יותר משנת 1582, כך שהיו תקופות בהן במדינות שונות היו תאריכים שונים לאותן יממות בדיוק. האלגוריתם הממוחשב, שמתגבר על בעיוות אלו, ומחשב כמה יממות עברו בין שני תאריכים קרוי יום יוליאני.

לקטעי "הידעת?" נוספים

עריכהציטוט נבחר

מתמטיקאים הם בני אדם, אלא שהם מסתירים זאת היטב.

— עמוס נוי

לאוסף הציטוטים המלא

עריכהנוסחה נבחרת

$$x=-\frac{b}{a}$$ $$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ $$\begin{array}{rl}{x}_{1,2,3}\subset -\frac{b}{3a}& +\sqrt[3]{-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a}+\sqrt{{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})}^2+{(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2})}^3}}\\ & +\sqrt[3]{-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a}-\sqrt{{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})}^2+{(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2})}^3}}\end{array}$$

נוסחאות למציאת פתרונות למשוואות פולינומיאליות ממעלות 1 עד 4. השורשים ממעלה שלישית הם אלגבריים, זאת אומרת שניתן להציב במקומם כל אחד משלושת השורשים המרוכבים. עם זאת בשתי הנוסחאות האחרונות, לא כל הצבה כזאת (כמו גם בחירה של הסימן $\pm$) תיתן שורש, אבל כל שורש אפשר לקבל כהצבה. הנוסחה האחרונה לא תקפה כשהמכנים מתאפסים, יש נוסחאות שונות למקרים אלה. שתי הנוסחאות האחרונות נחשבות לאחד ההישגים המשמעותיים של המתמטקה של הרנסאנס. בגלל החזרות הרבות, אפשר לפשט משמעותית את שתי הנוסחאות הארחונות אם מכניסים סימוני עזר בשביל חלקים של הנוסחה שחוזרים על עצמם. לפי תורת גלואה, לא ניתן לפתח נוסחאות המבוססות על ארבע פעולות החשבון ושורשים עבור משוואות ממעלה גבוהה יותר.

לאוסף הנוסחאות

עריכהחידה

חידת מונטי הול: בשעשעון טלוויזיה ישנן שלוש דלתות. מאחורי אחת מהן ישנו פרס גדול, ומאחורי כל אחת משתי האחרות יש עז. המשתתף מתבקש לבחור אחת מהדלתות, אבל לאחר הבחירה מנחה התוכנית אינו פותח את הדלת שנבחרה, אלא את אחת משתי הדלתות האחרות, ומראה למשתתף שמאחוריה יש עז. עכשיו המשתתף יכול לדבוק בבחירה המקורית שלו או להחליף לדלת השלישית שנותרה. מה עדיף לו לעשות?

לחידות נוספות, לחידות קשות יותר

עריכהאיפה עוד אפשר לקרוא על מתמטיקה?

עריכהאוצרות הרשת בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של אתרי אינטרנט הפועלים להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. אתר היום: Plus (באנגלית) מגזין אינטרנט בריטי, שנועד לחשוף את הקורא לקסם של המתמטיקה, ועושה זאת בהצלחה רבה, באמצעות מאמרים, ראיונות, חידות ומשחקים. לאוצרות נוספים

עריכהמדף הספרים בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של ספרי מתמטיקה שנועדו להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. ספר היום: איאן סטיוארט, לאַלף את האינסוף - סיפורה של המתמטיקה, ספרי עליית הגג וידיעות ספרים, 2012 זהו מבוא פופולרי מקיף לתולדות המתמטיקה, מראשית ייצוגם של מספרים בפרהיסטוריה ועד להוכחת השערת פואנקרה בתחילת המאה ה-21. המחבר מציין: "רשימת הנושאים שאינם מופיעים בספר ארוכה יותר מרשימת אלה שכן מופיעים בו". תוצאה זו בלתי-נמנעת, בהתחשב ברוחב היריעה של המתמטיקה, אך הספר עוסק בקשת רחבה של נושאים, תוך הצגת המתמטיקאים, העצמים והרעיונות המרכיבים את ההיסטוריה של המתמטיקה. לספרים נוספים

עריכהמשפטים והשערות מפורסמים

מבט אל הלוח – תצוגה מתחלפת של השערה או משפט

משפט ארבעת הריבועים של לגראנז' הוא מן התוצאות הקלאסיות והאלגנטיות בתורת המספרים. המשפט, אותו הוכיח ז'וזף לואי לגראנז' ב-1770, קובע שכל מספר טבעי אפשר לכתוב כסכום של ארבעה ריבועים: לכל מספר טבעי n אפשר למצוא מספרים שלמים a,b,c,d, כך ש- $n=a^2+b^2+c^2+d^2$. לדוגמה, $107=8^2+5^2+3^2+3^2$.

לערך המלא

מבט על משפטים והשערות נוספים

עריכהקישורים שימושיים

רשימת משפטים מתמטיים - נוסחאות בגאומטריה - רשימת נוסחאות בטריגונומטריה - נוסחאות גזירה - חוקי הלוגריתמים

עריכהפורטלים קרובים

מחשבים	אינטרנט	פיזיקה	כימיה	כלכלה	מדעי המחשב

עריכהקדימה, לעבודה!

ערכים המחפשים עורכים

דיונים, ייעוץ ועזרה להסבר על עריכת נוסחאות מתמטיות ראו עזרה:נוסחאות לשאלות במתמטיקה בקרו בשאל את המומחה – שאלות במדעים מדויקים

מהו פורטל? – רשימת כל קטגוריות המשנה והערכים