לדלג לתוכן

פורטל:מתמטיקה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית

רענון הפורטל כיצד אוכל לעזור?    

המתמטיקה מוגדרת לעתים קרובות כלמידת הדפוסים והתבניות של מבנה, שינוי ומרחב, ואפיונם. מנקודת מבט מודרנית, מתמטיקה היא השימוש בלוגיקה פורמלית לחקירת מערכות ומבנים מופשטים שהוגדרו אקסיומטית.

מוצאם של רוב המבנים הנחקרים במתמטיקה הוא ממדעי הטבע, לרוב מפיזיקה, אך מתמטיקאים מרבים להגדיר ולחקור מבנים מסיבות פנימיות לחלוטין למתמטיקה עצמה, למשל לשם ביצוע הכללה מאחדת של תחומים מתמטיים אחדים או ככלי שימושי לביצוע חישובים. יש אפוא מתמטיקאים רבים שחוקרים תחומים מסוימים מסיבות אסתטיות לחלוטין, בראיית המתמטיקה כאמנות במידת מה יותר מכמדע שימושי.


האריתמטיקה והרטוריקה. פסלם של ניקולא וג'ובאני פיסאנו, פונטנה מאג'ורה, פראג
האריתמטיקה והרטוריקה. פסלם של ניקולא וג'ובאני פיסאנו, פונטנה מאג'ורה, פראג

אריתמטיקה (מהמילה היוונית "אריתמוס" שמשמעותה מספר) היא הענף העתיק והבסיסי ביותר במתמטיקה. חוקי האריתמטיקה הבסיסיים משמשים כל אדם מודרני לצורך ביצוען של משימות יום-יומיות פשוטות כגון הכנת מזון ותכנון כלכלת הבית. לאריתמטיקה המתקדמת יותר ולתחומים הקרובים אליה, הכוללים פעולות מתמטיות מסובכות, יש שימוש רב בתחומי המדע, ההנדסה והטכנולוגיה השונים.

במובנה המצומצם, המילה מתייחסת לענף במתמטיקה העוסק בפעולות הקשורות במספרים, כגון ארבע פעולות החשבון או פעולות מורכבות יותר. מתמטיקאים משתמשים לעתים במונח "אריתמטיקה" כתחליף לתורת המספרים. גבולותיו של ענף מתמטי זה אינם תחומים באופן חד, והם השתנו במרוצת השנים. באופן עקרוני, עוסקת האריתמטיקה במספרים, ביצוע פעולות עליהם, חקירת המאפיינים שלהם וסוגיהם, ובאלגוריתמים ומושגים בעלי קרבה רעיונית או תוכנית לתחום זה. כך, למשל, משתמשים לעתים במונח "אריתמטיקה" גם לצורך חקירת מספרים ראשוניים או בעיות חישוביות שונות בגאומטריה אלגברית.



אוגוסטן לואי קושי
אוגוסטן לואי קושי

אוגוסטן לואי קוֹשי (צרפתית: Augustin Louis Cauchy;‏ 21 באוגוסט 178923 במאי 1857) הוא מתמטיקאי צרפתי, הידוע בעיקר בזכות תרומתו הרבה לאנליזה המודרנית והביסוס הלוגי והפורמלי של החשבון האינפיניטסימלי. קושי היה מתמטיקאי עמוק ויסודי, שנקט בשיטות עבודה והוכחה מדוקדקות וקפדניות (ריגורוזיות). התרבות המתמטית של קושי השפיעה רבות על תלמידיו ועל ממשיכיו ומהווה יסוד חשוב בתרבות המתמטית של ימינו.

מלבד הנחלת תרבות ההוכחה הריגורוזית תרם קושי רבות בתחומים רבים של המתמטיקה והפיזיקה המתמטית.

גרדיאנט הינו אופרטור וקטורי המופעל על שדה סקלרי. הגרדיאנט של שדה סקלרי הוא שדה וקטורי המשייך לכל נקודה במרחב וקטור המצביע אל הכיוון בו השינוי בשדה הסקלרי מקסימלי (חיובי), ואשר גודלו כשיעור השינוי המקסימלי.
באיורים האלה, השדה הסקלרי מתואר באמצעות שינוי הצבע, כאשר אזורים כהים יותר הם ערכים גדולים יותר של הפונקציה. החצים הכחולים מתארים את הגרדיאנט הנגזר מהשדה הסקלרי. החצים פונים אל עבר האזורים הגבוהים יותר.

משפט פיתגורס, הוא אחד מהמשפטים הגאומטריים הנודעים ביותר. הוא קובע שסכום שטחי הריבועים, הבנויים על הניצבים במשולש ישר-זווית, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר. באנימציה רואים את אחת מההוכחות הרבות למשפט. בעזרת חיתוך ל-4 משולשים ישרי זווית וסידור החלקים מחדש מתקבלת הוכחה של המשפט.

השבר ...0.142857142857
השבר ...0.142857142857

השבר עשרוני המייצג את המספר שביעית (...0.142857142857) מורכב מרצף הספרות 142857 שחוזר על עצמו אינסוף פעמים. למספר 142857 תכונה מעניינת: כאשר מכפילים אותו במספר טבעי קטן מ-7 מקבלים תמורה מעגלית של המספר המקורי, כלומר מספר הבנוי מאותן ספרות שהוזזו באופן מעגלי. לדוגמה:

2 × 142,857 = 285,714
3 × 142,857 = 428,571
4 × 142,857 = 571,428
5 × 142,857 = 714,285

למספר מסוג זה קוראים מספר ציקלי.


מתמטיקאים הם בני אדם, אלא שהם מסתירים זאת היטב.


ζ(s):=n=1ns=p ינושאר(1ps)1 נוסחת המכפלה של אוילר עבור פונקציית זטא של רימן. הנוסחה עומדת בבסיסה של תורת המספרים האנליטית ומאפשרת לקבל מידע רב על ההתפלגות של מספרים ראשוניים באמצעות אנליזה מרוכבת של פונקציית זטא של רימן.


במשחק בין שני שחקנים, מטרתו של הכלוא לצאת ממעגל ברדיוס 100 מטר, ומטרתו של הסוהר למנוע ממנו את היציאה. על-פי חוקי המשחק, הכלוא מתחיל במרכז המעגל, ובכל שלב מותר לו לבחור כיוון שבו הוא מבקש לצעוד, וללכת צעד שאורכו מטר אחד. קודם לביצוע הצעד, הסוהר קובע האם הכלוא ילך בכיוון שבחר, או בכיוון המנוגד.

האם יצליח הכלוא לצאת מן המעגל? אם כן, כיצד, ובכמה צעדים; ואם לא - מדוע?

בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של אתרי אינטרנט הפועלים להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב.

אתר היום: NRICH (באנגלית)

אתר בריטי להעשרה מתמטית, למורים ולתלמידים, ובו שלל חידות ומשחקים.

בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של ספרי מתמטיקה שנועדו להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב.

ספר היום:

איאן סטיוארט, תיבת האוצרות המתמטיים של פרופסור סטיוארט, כנרת זמורה-ביתן דביר, 2012

כאשר היה פרופ' איאן סטיוארט, מתמטיקאי בריטי ידוע, בן ארבע עשרה, החל לרשום בפנקס רעיונות מתמטיים שנראו לו מעניינים ושלא נלמדו בבית הספר. עד מהרה נזקק לפנקס חדש, ובסופו של דבר לארונית שלמה. מתוכם, ברר סטיוארט כ-180 חידות, רעיונות, סיפורים ובדיחות מתמטיות, הפרוסות על פני כ-310 עמודים. בסוף הספר ישנן פתרונות לכל החידות עם מעט הסברים.

סגנון הכתיבה החופשי אפשר לסטיוארט להביא את דבריו באופן קליל, אשר יובנו גם למי שאינו עוסק בתחום ואינו מכיר את השיטות המתמטיות ודרכי ההוכחה מקובלות במחקר.

כפעם בפעם הוא מפנה לאתרי אינטרנט העוסקים בנושא הפרק שבו הוא דן, אך לרוב הוא אינו מפנה לביבליוגרפיה והמעוניינים בכך יצטרכו לחפש בעצמם.

משפטים מפורסמים
השערות מפורסמות

אי שוויון המשולש הוא התרגום האלגברי לעובדה שבמשולש, אורכה של כל צלע קטן מסכום ארכי הצלעות האחרות. אי-שוויון המשולש מבטא את העובדה שלא ניתן לקצר את הדרך מ- A ל- C על ידי מעבר בנקודה B (כלומר: הקו הישר הוא הדרך הקצרה ביותר בין שתי נקודות). בצורתו הפשוטה, עבור זוג מספרים  x ו-  y, מתקיים  |x+y||x|+|y|.

זוהי תכונה יסודית כל-כך של מושג ה"מרחק", עד שהיא מהווה אחת מהאקסיומות המגדירות מטריקה ומרחב מטרי. לפיכך, אי שוויון זה נכון, בהכללה, עבור כל נורמה (המושג "נורמה" הוא הכללה של מושג ה"אורך"). בפרט, אי שוויון המשולש האינטגרלי הוא גרסה של אי שוויון המשולש עבור הנורמה האינטגרלית.

מבט על משפטים והשערות נוספים
נושאים במתמטיקה
כמות אינסוף - מספרים (טבעיים, שלמים, רציונליים, אי-רציונליים, ממשיים, מרוכבים) - מספרים סודרים - עוצמה - תורת המידה - קבועים מתמטיים
שינוי אנליזה מתמטית - אנליזה וקטורית - אנליזה מרוכבת - אריתמטיקה - חשבון אינפיניטסימלי - תורת הכאוס - משוואות דיפרנציאליות - אנליזה פונקציונלית
מבנה אלגברה - אנליזה מתמטית - אריתמטיקה - טופולוגיה - תורת הגרפים - תורת החבורות - תורת המספרים
מרחב אלגברה ליניארית - גאומטריה - טופולוגיה - טריגונומטריה - אנליזה וקטורית - חשבון טנזורים - מרחב מחויג
מתמטיקה בדידה חישוביות - קומבינטוריקה - קריפטוגרפיה - תורת הגרפים - תורת המשחקים
יסודות ושיטות לוגיקה - פילוסופיה של המתמטיקה - תורת הקבוצות - סימון מתמטי - תורת הקטגוריות
מתמטיקה יישומית אופטימיזציה - אנליזה נומרית - הסתברות - סטטיסטיקה - מתמטיקה פיננסית
עולם המתמטיקה הוראת המתמטיקה - האיחוד המתמטי הבינלאומי - היסטוריה של המתמטיקה - מדליית פילדס - מתמטיקאים - 23 הבעיות של הילברט

ערכים המחפשים עורכים

דיונים, ייעוץ ועזרה