פורטל:מתמטיקה

רענון הפורטל כיצד אוכל לעזור?    

עריכהמבוא

המתמטיקה מוגדרת לעתים קרובות כלמידת הדפוסים והתבניות של מבנה, שינוי ומרחב, ואפיונם. מנקודת מבט מודרנית, מתמטיקה היא השימוש בלוגיקה פורמלית לחקירת מערכות ומבנים מופשטים שהוגדרו אקסיומטית.

מוצאם של רוב המבנים הנחקרים במתמטיקה הוא ממדעי הטבע, לרוב מפיזיקה, אך מתמטיקאים מרבים להגדיר ולחקור מבנים מסיבות פנימיות לחלוטין למתמטיקה עצמה, למשל לשם ביצוע הכללה מאחדת של תחומים מתמטיים אחדים או ככלי שימושי לביצוע חישובים. יש אפוא מתמטיקאים רבים שחוקרים תחומים מסוימים מסיבות אסתטיות לחלוטין, בראיית המתמטיקה כאמנות במידת מה יותר מכמדע שימושי.

לערך המלא

עריכהאנחנו ממליצים

עריכהערכים מומלצים במתמטיקה אריתמטיקה - חזקה (מתמטיקה) - חידות חיתוך והרכבה - מגדלי האנוי - מערכות מספרים - משפט פיתגורס - משפט קנטור - קבוצת קנטור - קריפטוגרפיה עריכהמאמר נבחר $2^3=8$ $e^{i\pi }=-1$ $2^{{\mathrm{\aleph }}_0}=\mathrm{\aleph }$ חזקה היא פעולה מתמטית המתבצעת בין שני מספרים ומסומנת $a^b$. בצורתה הבסיסית ביותר, כאשר $n$ הוא מספר טבעי, החזקה $a^n$ שווה ל-$n$ מופעים של $a$ הנכפלים זה בזה. את ההגדרה הבסיסית הזו ניתן להרחיב למערכות מספרים רבות, ואף לעצמים מתמטיים שאינם בהכרח מספרים, תוך שמירה על תכונותיה הבסיסיות הייחודיות של הפעולה, הנקראות חוקי חזקות. לחזקה תפקיד מרכזי בתחומים רבים במתמטיקה. השערות ומשפטים הקשורים בפעולה העסיקו מתמטיקאים במשך מאות שנים. פונקציות המבוססות על פעולת החזקה, כגון פולינומים ופונקציות מעריכיות, משמשות בכל תחומי המדעים. בשל כך פותחו שיטות המאפשרות חישוב חזקות באופן יעיל, במקום הכפלה חוזרת שעשויה לקחת זמן רב. לערך המלא לרשימה המלאה

עריכהמומלצי פורטל נוספים אוריינטציה - אי-שוויון הממוצעים - אי-שוויון קושי-שוורץ - בקבוק קליין - המשפט היסודי של האלגברה - המשפט היסודי של האריתמטיקה - השערת גולדבך החלשה - השערת פואנקרה - טופולוגיה - יריעה אלגברית - ערך עצמי - פאון משוכלל עריכהמתמטיקאי נבחר תאלס איש מילטוס (ביוונית: Θαλής), פילוסוף יווני מן האסכולה המילטית, חי בין 624 עד 546 לפנה"ס בקירוב, ותקופת הפריחה שלו בסביבות 590 לפנה"ס. הפילוסוף המוכר הראשון בתולדות הפילוסופיה המערבית. נחשב לאחד משבעת חכמי יוון, ולעיקרי שבהם. עסק באסטרונומיה, גאומטריה וקוסמולוגיה. הוכיח את משפט תאלס, הנקרא על שמו. תאלס נולד במילטוס, אשר באסיה הקטנה (כיום טורקיה). במקצועו היה סוחר שמנים מהמעמד העליון. ערך מסעות רבים באסיה הקטנה ובמצרים, בהם למד רעיונות רבים שהשפיעו על הגותו. הוא עסק, בין השאר, גם בפיתוח יישומים מעשיים לרעיונותיו, כגון מציאת שיטה לקביעת מיקומה של ספינה הנראית מן החוף, אבל את עיקר מחשבתו הקדיש לרעיונות מופשטים כלליים. לערך המלא לרשימת הביוגרפיות המלאה

עריכהאיך נראית מתמטיקה?

עריכהתמונה נבחרת בעיית הדויגר-נלסון היא בעיה בקומבינטוריקה גאומטרית השואלת כמה צבעים צריך כדי לצבוע את המישור כך שאף שתי נקודות במרחק יחידה אחת מהשנייה לא יהיו צבועות באותו הצבע. בתמונה מודגם שאפשר לעשות זאת עם 7 צבעים. ניתן גם להראות כי 3 צבעים לא מספיקים, אך המספר המדויק עדין לא ידוע. לגלריית התמונות

עריכהאנימציה נבחרת פרוק פרדוקסלי של גרף קיילי של החבורה $F_2$ (החבורה החופשית עם 2 יוצרים). האנימציה מראה איך לפרק את הגרף למספר חלקים ולהרכיב מהם 2 העתקים של הגרף המקורי. פרוק כזה נקרא פרוק פרדוקסלי. בפני עצמו, פרוק זה אינו מפתיע יותר מהמלון של הילברט, אולם ניתן להסיק ממנו את משפט בנך-טרסקי (הנקרא לעיתים פרדוקס בנך-טרסקי) הקובע כי קיים פרוק פרדוקסלי של הכדור. לגלריית האנימציות

עריכהרוצים לשמוע משהו מסקרן?

עריכההידעת?

סימן פאי

ב-1897 נדונה בפרלמנט של מדינת אינדיאנה הצעת חוק פאי, שבין השאר קבעה את ערכו של פאי. עיקר החוק נגע לשיטתו של מתמטיקאי חובב לתרבוע העיגול באמצעות בנייה בסרגל ובמחוגה, וממנו נגזרו מספר ערכים שגויים לפאי, 3.2 למשל. חמש עשרה שנה לפני כן, פורסמה הוכחה שפאי הוא מספר טרנסצנדנטי, ולכן תרבוע העיגול בלתי אפשרי. למרות זאת, ההצעה אושרה בוועדת החינוך ואחר כך בבית הנבחרים, ואף עברה בקריאה ראשונה בסנאט של אינדיאנה. רק התערבותו המהירה של פרופסור למתמטיקה שנכח במקרה בבית המחוקקים מנעה את הפיכת ההצעה לחוק מחייב.

לקטעי "הידעת?" נוספים

עריכהציטוט נבחר

מתמטיקאים הם בני אדם, אלא שהם מסתירים זאת היטב.

— עמוס נוי

לאוסף הציטוטים המלא

עריכהנוסחה נבחרת

$$x=-\frac{b}{a}$$ $$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ $$\begin{array}{rl}{x}_{1,2,3}\subset -\frac{b}{3a}& +\sqrt[3]{-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a}+\sqrt{{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})}^2+{(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2})}^3}}\\ & +\sqrt[3]{-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a}-\sqrt{{(-\frac{b^3}{27a^3}+\frac{bc}{6a^2}-\frac{d}{2a})}^2+{(\frac{c}{3a}-\frac{b^2}{9a^2})}^3}}\end{array}$$

נוסחאות למציאת פתרונות למשוואות פולינומיאליות ממעלות 1 עד 4. השורשים ממעלה שלישית הם אלגבריים, זאת אומרת שניתן להציב במקומם כל אחד משלושת השורשים המרוכבים. עם זאת בשתי הנוסחאות האחרונות, לא כל הצבה כזאת (כמו גם בחירה של הסימן $\pm$) תיתן שורש, אבל כל שורש אפשר לקבל כהצבה. הנוסחה האחרונה לא תקפה כשהמכנים מתאפסים, יש נוסחאות שונות למקרים אלה. שתי הנוסחאות האחרונות נחשבות לאחד ההישגים המשמעותיים של המתמטקה של הרנסאנס. בגלל החזרות הרבות, אפשר לפשט משמעותית את שתי הנוסחאות הארחונות אם מכניסים סימוני עזר בשביל חלקים של הנוסחה שחוזרים על עצמם. לפי תורת גלואה, לא ניתן לפתח נוסחאות המבוססות על ארבע פעולות החשבון ושורשים עבור משוואות ממעלה גבוהה יותר.

לאוסף הנוסחאות

עריכהחידה

איך אפשר לחשב את המכפלה של שני מספרים, במחשבון שבו אפשר לבצע רק חיבור, חיסור והיפוך (היינו, הפעולה $x\mapsto \frac{1}{x}$)?

בונוס:נסו להשתמש ב6 פעולות היפוך בלבד

לחידות נוספות, לחידות קשות יותר

עריכהאיפה עוד אפשר לקרוא על מתמטיקה?

עריכהאוצרות הרשת בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של אתרי אינטרנט הפועלים להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. אתר היום: MAA Online (באנגלית) האתר של MAA - האגודה המתמטית של ארצות הברית, ובו שלל טורים מעניינים, כולל כאלה שאינם מצריכים בקיאות במתמטיקה. לאוצרות נוספים

עריכהמדף הספרים בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של ספרי מתמטיקה שנועדו להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. ספר היום: דאגלס הופשטטר, גדל, אשר, באך, דביר, 2011 גדל, אשר, באך, או בשמו המלא "גדל, אשר, באך: גביש בן אלמוות: פוגה מטאפורית על נפשות ומכונות ברוח לואיס קרול" הוא ספר עיון העוסק בשאלות מתמטיות ופילוסופיות, אך גם בנושאים רבים הנוגעים לאמנות, לוגיקה, מוזיקה ומדעי המחשב. הספר יצא לאור באנגלית ב-1979 ותורגם לעברית ב-2011. לספרים נוספים

עריכהמשפטים והשערות מפורסמים

מבט אל הלוח – תצוגה מתחלפת של השערה או משפט

משפט רייס הוא משפט מרכזי בתחום החישוביות, שעוסק ביכולת של אלגוריתמים לחקור אלגוריתמים אחרים. המשפט קובע שאין תוכנית מחשב שמקבלת כקלט תוכנית מחשב אחרת, ומכריעה האם הפונקציה שמחשבת תוכנית מחשב זו היא בעלת תכונה מסוימת "לא-טריוויאלית" או לא. (כלומר, תכונות אשר מאפיינות חלק מהפונקציות שמחושבות בידי תוכנית מחשב, אך לא את כולן) יש לשים לב שהתכונה היא תכונה של הפונקציה, ולא של תוכנית המחשב עצמה. באופן אינטואיטיבי המשפט טוען שתוכנית מחשב אינה יכולה לדעת מה תוכנית מחשב אחרת עושה (כי אז היא הייתה צריכה להריץ אותה, וזה שקול לבעיית העצירה).

לערך המלא

מבט על משפטים והשערות נוספים

עריכהקישורים שימושיים

רשימת משפטים מתמטיים - נוסחאות בגאומטריה - רשימת נוסחאות בטריגונומטריה - נוסחאות גזירה - חוקי הלוגריתמים

עריכהפורטלים קרובים

מחשבים	אינטרנט	פיזיקה	כימיה	כלכלה	מדעי המחשב

עריכהקדימה, לעבודה!

ערכים המחפשים עורכים

דיונים, ייעוץ ועזרה להסבר על עריכת נוסחאות מתמטיות ראו עזרה:נוסחאות לשאלות במתמטיקה בקרו בשאל את המומחה – שאלות במדעים מדויקים

מהו פורטל? – רשימת כל קטגוריות המשנה והערכים