פורטל:מתמטיקה

רענון הפורטל כיצד אוכל לעזור?    

עריכהמבוא

המתמטיקה מוגדרת לעתים קרובות כלמידת הדפוסים והתבניות של מבנה, שינוי ומרחב, ואפיונם. מנקודת מבט מודרנית, מתמטיקה היא השימוש בלוגיקה פורמלית לחקירת מערכות ומבנים מופשטים שהוגדרו אקסיומטית.

מוצאם של רוב המבנים הנחקרים במתמטיקה הוא ממדעי הטבע, לרוב מפיזיקה, אך מתמטיקאים מרבים להגדיר ולחקור מבנים מסיבות פנימיות לחלוטין למתמטיקה עצמה, למשל לשם ביצוע הכללה מאחדת של תחומים מתמטיים אחדים או ככלי שימושי לביצוע חישובים. יש אפוא מתמטיקאים רבים שחוקרים תחומים מסוימים מסיבות אסתטיות לחלוטין, בראיית המתמטיקה כאמנות במידת מה יותר מכמדע שימושי.

לערך המלא

עריכהאנחנו ממליצים

עריכהערכים מומלצים במתמטיקה אריתמטיקה - חזקה (מתמטיקה) - חידות חיתוך והרכבה - מגדלי האנוי - מערכות מספרים - משפט פיתגורס - משפט קנטור - קבוצת קנטור - קריפטוגרפיה עריכהמאמר נבחר איור המציג את שבעת השלבים הראשונים בבניית קבוצת קנטור קבוצת קנטור היא קבוצה שנבנית בצורה האיטרטיבית הבאה: לוקחים קטע ישר, ומסירים ממנו את השליש האמצעי. מבצעים פעולה דומה בכל אחד משני הקטעים שנותרו, ונשארים עם ארבעה קטעים, שגם עליהם ממשיכים את התהליך, וכך הלאה עד אינסוף. קבוצה זו תוארה בידי המתמטיקאי גאורג קנטור בשנת 1883. חשיבותה הרבה היא בתכונותיה המיוחדות, שסותרות את האינטואיציה ומציגות מעט ממורכבותו ומייחודו של האינסוף. תכונות אלה דחפו את קנטור לפתח את תורת הקבוצות. קרוב למאה שנים מאוחר יותר נמנתה קבוצת קנטור עם הקבוצות שעליהן ביסס בנואה מנדלברוט את רעיון הפרקטל. לערך המלא לרשימה המלאה

עריכהמומלצי פורטל נוספים אוריינטציה - אי-שוויון הממוצעים - אי-שוויון קושי-שוורץ - בקבוק קליין - המשפט היסודי של האלגברה - המשפט היסודי של האריתמטיקה - השערת גולדבך החלשה - השערת פואנקרה - טופולוגיה - יריעה אלגברית - ערך עצמי - פאון משוכלל עריכהמתמטיקאי נבחר ריכרד דדקינד, תצלום משנת 1850 לערך יוליוס וילהלם ריכרד דֵדֵקינד (6 באוקטובר 1831 – 12 בפברואר 1916) היה מתמטיקאי גרמני, מממשיכיו הבולטים של ארנסט קומר. דדקינד נולד בבראונשווייג, והיה הצעיר מבין ארבעת ילדיו של יוליוס לוין אולריך דדקינד. דדקינד מעולם לא השתמש בשני שמותיו הראשונים, וחי עם אחותו הרווקה יוליה עד מותה ב-1914. הוא לא נישא מעולם. בשנת 1848 החל דדקינד בלימודיו בקולג' המלכותי בבראונשווייג. בשנת 1850, מצויד בבסיס מתמטי חזק, החל ללמוד באוניברסיטת גטינגן. באוניברסיטה זו לימד גאוס, וממנו למד דדקינד על תורת המספרים. בין מוריו החשובים של דדקינד היה גם מוריץ אברהם שטרן שכתב באותו זמן עבודות רבות בתורת המספרים. דדקינד הגיש עבודת דוקטורט קצרה בהנחייתו של גאוס שנקראה "Über die Theorie der Eulerschen Integrale" ("על התאוריה של שלמים אוילריים"), אך בעבודה זו לא ניכר הכישרון שייחד את דדקינד בעבודותיו המאוחרות. למרות זאת הכיר גאוס בכישוריו - דדקינד קיבל את הדוקטורט שלו ב-1852 והיה לתלמידו האחרון של גאוס. לערך המלא לרשימת הביוגרפיות המלאה

עריכהאיך נראית מתמטיקה?

עריכהתמונה נבחרת דיאגרמות דינקין הן אובייקט קומבינטורי הממין אובייקטים רבים מתחומים שונים במתמטיקה. הדיאגרמות על גרסאותיהן השונות, ממיינות אלגבראות לי פשוטות (מעל המרוכבים), חבורות לי קומפקטיות פשוטות קשר (או לחלופין חסרות מרכז), חבורות קוקסטר, אלגבראות הקה, פאונים משוכללים, תת-חבורות סופיות של $S{L}_2(ℂ)$ (או $S{O}_3(ℝ)$), סינגולריות של יריעות אלגבריות דו-ממדיות ועוד. ברוב המקרים אפשר לקשר בין האובייקטים גם בלי לעבור דרך דיאגרמות דינקין, אולם לעתים הקשר התגלה רק לאחר שהקשר לדיאגרמות דינקין היה ידוע. משפט בריסקורן אודות הקשר בין אלגבראות לי וסינגולריות של ירעות אלגבריות דו-ממדיות הוא דוגמה בולטת למקרה כזה. לגלריית התמונות

עריכהאנימציה נבחרת טורוס הנו גוף סיבוב הנוצר מסיבובו של מעגל סביב לציר הניצב לו אך לא חותך אותו. בתמונה מופיע טורוס עם חור ההולך וגדל עד שהטורוס "בולע" את עצמו. לגלריית האנימציות

עריכהרוצים לשמוע משהו מסקרן?

עריכההידעת?

גאורג קנטור

השערת הרצף, שניסח מייסד תורת הקבוצות, גאורג קנטור, נחשבה לאחת הבעיות הפתוחות, החשובות במתמטיקה, ואף הייתה הראשונה ברשימת 23 הבעיות הפתוחות של המתמטיקה, שמנה דויד הילברט בשנת 1900. משך שנים קנטור ואחרים ניסו להוכיח את ההשערה, או להפריכה, אך לא הצליחו לעשות זאת. רק בשנת 1937 חלה התקדמות מסוימת במעמדה, כאשר קורט גדל הצליח להוכיח כי הנחת אמיתותה משתלבת במערכת האקסיומות המתמטיות המקובלות בלי לערערה. עם זאת, ב-1963, הראה פול כהן כי גם ההנחה ההפוכה, השוללת את השערת הרצף, משתלבת באותה מערכת בלי לערערה. כך בעצם הוכח שהשערת הרצף היא טענה מתמטית שאמיתותה אינה תלויה ביתר האקסיומות המקובלות, ובעצם היא טענה שלא ניתן להפריכה ולא ניתן להוכיחה.

לקטעי "הידעת?" נוספים

עריכהציטוט נבחר

מתמטיקאים הם בני אדם, אלא שהם מסתירים זאת היטב.

— עמוס נוי

לאוסף הציטוטים המלא

עריכהנוסחה נבחרת

$$e^{i\phi }=\cos (\phi )+i\sin (\phi )$$ נוסחת אוילר. נוסחה המבארת את מושג החזקה עבור מספרים מרוכבים.

לאוסף הנוסחאות

עריכהחידה

תרנגולת וחצי מטילה ביצה וחצי ביום וחצי. כמה ביצים מטילה תרנגולת אחת ביום אחד?

לחידות נוספות, לחידות קשות יותר

עריכהאיפה עוד אפשר לקרוא על מתמטיקה?

עריכהאוצרות הרשת בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של אתרי אינטרנט הפועלים להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. אתר היום: Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles (באנגלית) אתר חובה לאוהבי מתמטיקה. זהו אתר עשיר ונפלא, מלא ברעיונות מעניינים מכל תחומי המתמטיקה, בעיות, הוכחות וחידות. דפים רבים כוללים תוכניות Java ו-JavaScript, ההופכות את הביקור באתר לחוויה אינטראקטיבית. באתר הפניות לאתרים מתמטיים נוספים ולספרות מתמטית פופולרית, ולכן הוא מהווה נקודת מוצא מצוינת למי שמחפש מתמטיקה באינטרנט. את האתר הקים אלכסנדר בוגומולני, שאת תואר הדוקטור במתמטיקה קיבל באוניברסיטה העברית בירושלים. לאוצרות נוספים

עריכהמדף הספרים בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של ספרי מתמטיקה שנועדו להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. ספר היום: איאן סטיוארט, לאַלף את האינסוף - סיפורה של המתמטיקה, ספרי עליית הגג וידיעות ספרים, 2012 זהו מבוא פופולרי מקיף לתולדות המתמטיקה, מראשית ייצוגם של מספרים בפרהיסטוריה ועד להוכחת השערת פואנקרה בתחילת המאה ה-21. המחבר מציין: "רשימת הנושאים שאינם מופיעים בספר ארוכה יותר מרשימת אלה שכן מופיעים בו". תוצאה זו בלתי-נמנעת, בהתחשב ברוחב היריעה של המתמטיקה, אך הספר עוסק בקשת רחבה של נושאים, תוך הצגת המתמטיקאים, העצמים והרעיונות המרכיבים את ההיסטוריה של המתמטיקה. לספרים נוספים

עריכהמשפטים והשערות מפורסמים

מבט אל הלוח – תצוגה מתחלפת של השערה או משפט

השאלה האם P=NP היא בעיה פתוחה מרכזית במדעי המחשב, העוסקת ביכולת לפתור אוסף גדול של בעיות בצורה יעילה. במילים פשוטות, השאלה היא האם כל בעיה שניתן לבדוק עבורה בצורה יעילה האם פתרון מוצע הוא נכון (בעיה השייכת לקבוצה NP), היא גם בעיה שניתן למצוא עבורה פתרון בצורה יעילה (בעיה השייכת לקבוצה P). לפתרון הבעיה ישנן השלכות תאורטיות ומעשיות רבות, והיא זכתה להכרה כאחת מ"שבע בעיות המילניום" של מכון קליי למתמטיקה. אף שכיום לא ידועה תשובה לשאלה זו, ההשערה הרווחת היא כי P≠NP.

השאלה האם P=NP אינה בעלת ערך אקדמי בלבד. עם התפתחות השימושים המסחריים של ההצפנה בעידן המחשב, ובמיוחד במסחר אלקטרוני, הפכה התשובה לשאלה לבעלת חשיבות כלכלית לא מבוטלת. הסיבה לכך היא שרוב המסחר האלקטרוני ותעשיית האבטחה הדיגיטאלית מסתמכים על אלגוריתמים שיכולת ההצפנה שלהם נובעת מחוסר היכולת הנוכחי לפתור בעיות NP בזמן סביר.

לערך המלא

מבט על משפטים והשערות נוספים

עריכהקישורים שימושיים

רשימת משפטים מתמטיים - נוסחאות בגאומטריה - רשימת נוסחאות בטריגונומטריה - נוסחאות גזירה - חוקי הלוגריתמים

עריכהפורטלים קרובים

מחשבים	אינטרנט	פיזיקה	כימיה	כלכלה	מדעי המחשב

עריכהקדימה, לעבודה!

ערכים המחפשים עורכים

דיונים, ייעוץ ועזרה להסבר על עריכת נוסחאות מתמטיות ראו עזרה:נוסחאות לשאלות במתמטיקה בקרו בשאל את המומחה – שאלות במדעים מדויקים

מהו פורטל? – רשימת כל קטגוריות המשנה והערכים