פורטל:מתמטיקה

רענון הפורטל כיצד אוכל לעזור?    

עריכהמבוא

המתמטיקה מוגדרת לעתים קרובות כלמידת הדפוסים והתבניות של מבנה, שינוי ומרחב, ואפיונם. מנקודת מבט מודרנית, מתמטיקה היא השימוש בלוגיקה פורמלית לחקירת מערכות ומבנים מופשטים שהוגדרו אקסיומטית.

מוצאם של רוב המבנים הנחקרים במתמטיקה הוא ממדעי הטבע, לרוב מפיזיקה, אך מתמטיקאים מרבים להגדיר ולחקור מבנים מסיבות פנימיות לחלוטין למתמטיקה עצמה, למשל לשם ביצוע הכללה מאחדת של תחומים מתמטיים אחדים או ככלי שימושי לביצוע חישובים. יש אפוא מתמטיקאים רבים שחוקרים תחומים מסוימים מסיבות אסתטיות לחלוטין, בראיית המתמטיקה כאמנות במידת מה יותר מכמדע שימושי.

לערך המלא

עריכהאנחנו ממליצים

עריכהערכים מומלצים במתמטיקה אריתמטיקה - חזקה (מתמטיקה) - חידות חיתוך והרכבה - מגדלי האנוי - מערכות מספרים - משפט פיתגורס - משפט קנטור - קבוצת קנטור - קריפטוגרפיה עריכהמאמר נבחר מערכות המספרים החשובות וקשרי ההכלה ביניהן במתמטיקה, מערכת מספרים היא קבוצה של מספרים, או עצמים הדומים למספרים, שמוגדרות בה פעולות אריתמטיות כגון חיבור וכפל. המערכות החשובות ביותר הן קבוצת המספרים הטבעיים, חוג המספרים השלמים, שדה המספרים הרציונליים, שדה המספרים הממשיים ושדה המספרים המרוכבים. עם זאת לשאלה 'מהי מערכת מספרים' אין תשובה מדויקת, וקבוצות כלליות יותר עשויות להחשב למערכות מספרים בהקשר המתאים. סביר להניח שבתחילה רק מספרים טבעיים נחשבו כ'מספרים'. אלו הם מונים של קבוצות סופיות: אחד, שניים, שלושה, ארבעה וכן הלאה. בבית הספר של פיתגורס 'מספר' היה תמיד יחס בין שני מספרים שלמים, כלומר (בשפה המודרנית) מספר רציונלי. מצד שני הפיתגוראים זיהו מספר עם האורך של קטע מתאים, והעדיפו בזה את הגישה הגאומטרית לשאלה 'מהו מספר'. הצורך של הפיתגוראים בהתאמה בין שתי ההגדרות האלה היה חזק כל-כך, עד שלפי האגדה הם זרקו לנהר תלמיד שגילה כי אורך האלכסון של ריבוע שצלעו יחידה אחת (שורש 2 על-פי משפט פיתגורס) אינו מספר רציונלי. לערך המלא לרשימה המלאה

עריכהמומלצי פורטל נוספים אוריינטציה - אי-שוויון הממוצעים - אי-שוויון קושי-שוורץ - בקבוק קליין - המשפט היסודי של האלגברה - המשפט היסודי של האריתמטיקה - השערת גולדבך החלשה - השערת פואנקרה - טופולוגיה - יריעה אלגברית - ערך עצמי - פאון משוכלל עריכהמתמטיקאי נבחר קרל פרידריך גאוס (גרמנית: Carl Friedrich Gauß‏, 30 באפריל 1777 – 23 בפברואר 1855) מתמטיקאי, פיזיקאי ואסטרונום גרמני, מגדולי המתמטיקאים של כל הזמנים. גאוס מכונה נסיך המתמטיקאים, והוא מוזכר בנשימה אחת יחד עם ארכימדס וניוטון. גאוס תרם רבות בתחומי האלגברה, תורת המספרים, גאודזיה, תורת הכבידה, תורת החשמל והמגנטיות, אסטרונומיה, אופטיקה ועוד. גאוס נולד בבראונשווייג שבסקסוניה תחתית כבן יחיד למשפחת פועלים ענייה. גאוס עצמו סיפר כי עמד על סוד הפעולות האריתמטיות עוד בטרם ידע לדבר. קיימים סיפורים רבים על גאונותו כילד, רובם נחשבים כאגדות. אחד מהם, המובא בספרו של אריק טמפל בל, Men of Mathematics, הוא כי עוד בטרם מלאו לו 3 שנים, נתגלה להוריו כשרונו המתמטי הייחודי: אביו עסק בהכנת גיליון השכר השבועי של הפועלים שבהשגחתו וביצע במשך דקות ארוכות את החישובים המסובכים. כאשר סיים את החישוב, אמר לו בנו שנפלה טעות בחישוב, ונקב בתוצאה שחישב בראשו. לערך המלא לרשימת הביוגרפיות המלאה

עריכהאיך נראית מתמטיקה?

עריכהתמונה נבחרת תמונה הממחישה את הגדרת הקואורדינטות הכדוריות. במערכת קואורדינטות זו, מיוצגת כל נקודה במרחב התלת ממדי על ידי מרחקה מראשית הצירים, הזווית שנוצרת בין קו המחבר אותה לראשית לבין ציר ה-z והזווית הנפרשת בין היטל קו זה על מישור xy לבין ציר ה- x. לגלריית התמונות

עריכהאנימציה נבחרת פרוק פרדוקסלי של גרף קיילי של החבורה $F_2$ (החבורה החופשית עם 2 יוצרים). האנימציה מראה איך לפרק את הגרף למספר חלקים ולהרכיב מהם 2 העתקים של הגרף המקורי. פרוק כזה נקרא פרוק פרדוקסלי. בפני עצמו, פרוק זה אינו מפתיע יותר מהמלון של הילברט, אולם ניתן להסיק ממנו את משפט בנך-טרסקי (הנקרא לעיתים פרדוקס בנך-טרסקי) הקובע כי קיים פרוק פרדוקסלי של הכדור. לגלריית האנימציות

עריכהרוצים לשמוע משהו מסקרן?

עריכההידעת?

לוח פלימפטון 322

אם אורך ניצב אחד של משולש ישר-זווית הוא 3 יחידות מידה, ואורך השני 4, אורך היתר יהיה 5. דהיינו, המספרים 3, 4 ו-5 מקיימים את משפט פיתגורס. יתרה מזאת, אם נכפול כל אחד משלושת המספרים האלו באותו מספר חיובי, גם המכפלות יקיימו את משפט פיתגורס. לכן, לשלשת מספרים כזו, כמו 3, 4 ו-5, קוראים שלשה פיתגורית. שלשות כאלו היו מוכרות משחר ההיסטוריה. לוח החרס, לוח פלימפטון 322 (בתמונה), המתעד חמש עשרה שלשות פיתגוריות, נכתב בבבל לפחות 1000 שנים לפני הולדת פיתגורס – המתמטיקאי היווני, שנחשב למגלה משפט פיתגורס. ההיסטויונים אינם סבורים כי כותבי הלוח הכירו את הנוסח הפשוט של משפט פיתגורס, אותו גילה פיתגורס ("אם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית הם $a$ ו-$b$, ואורך היתר הוא $c$, אז: $a^2+b^2=c^2$"). הם סבורים כי הבבלים ידעו שאפשר למצוא שלשות פיתגוריות באמצעות הנוסחה: $a=2st,b=s^2-t^2,c=s^2+t^2$, כאשר $s,t$ מספרים טבעיים.

לקטעי "הידעת?" נוספים

עריכהציטוט נבחר

מתמטיקאים הם בני אדם, אלא שהם מסתירים זאת היטב.

— עמוס נוי

לאוסף הציטוטים המלא

עריכהנוסחה נבחרת

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})a^k{b}^{n-k}$$ הבינום של ניוטון. הנוסחה הייתה ידועה זמן רב לפני תקופתו של ניוטון, אולם ניוטון היה הראשון שפיתח הכללה שלה עבור $n$ לא שלם, כחלק מהפיתוח של החדו"א. הנוסחה המקורית שימושית באלגברה וההכללה שלה שימושית גם באנליזה. ראו גם: משולש פסקל ומקדמי הבינום.

לאוסף הנוסחאות

עריכהחידה

איך אפשר לחשב את המכפלה של שני מספרים, במחשבון שבו אפשר לבצע רק חיבור, חיסור והיפוך (היינו, הפעולה $x\mapsto \frac{1}{x}$)?

בונוס:נסו להשתמש ב6 פעולות היפוך בלבד

לחידות נוספות, לחידות קשות יותר

עריכהאיפה עוד אפשר לקרוא על מתמטיקה?

עריכהאוצרות הרשת בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של אתרי אינטרנט הפועלים להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. אתר היום: MAA Online (באנגלית) האתר של MAA - האגודה המתמטית של ארצות הברית, ובו שלל טורים מעניינים, כולל כאלה שאינם מצריכים בקיאות במתמטיקה. לאוצרות נוספים

עריכהמדף הספרים בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של ספרי מתמטיקה שנועדו להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. ספר היום: דאגלס הופשטטר, גדל, אשר, באך, דביר, 2011 גדל, אשר, באך, או בשמו המלא "גדל, אשר, באך: גביש בן אלמוות: פוגה מטאפורית על נפשות ומכונות ברוח לואיס קרול" הוא ספר עיון העוסק בשאלות מתמטיות ופילוסופיות, אך גם בנושאים רבים הנוגעים לאמנות, לוגיקה, מוזיקה ומדעי המחשב. הספר יצא לאור באנגלית ב-1979 ותורגם לעברית ב-2011. לספרים נוספים

עריכהמשפטים והשערות מפורסמים

מבט אל הלוח – תצוגה מתחלפת של השערה או משפט

השערת הראשוניים התאומים קובעת שישנם אינסוף זוגות של ראשוניים תאומים, כלומר מספרים $p,p+2$ ששניהם ראשוניים. השערה זו היא אחת מן הבעיות הפתוחות המפורסמות בתורת המספרים ובמתמטיקה בכלל.

מתמטיקאים מאמינים שאכן ישנם אינסוף זוגות של ראשוניים תאומים, בגלל שורה של נימוקים היוריסטיים המבוססים על תכונות סטטיסטיות של המספרים הראשוניים, ובגלל עדויות מספריות התומכות בהשערת הארדי-ליטלווד. עם זאת, להשערה עדיין אין הוכחה.

לערך המלא

מבט על משפטים והשערות נוספים

עריכהקישורים שימושיים

רשימת משפטים מתמטיים - נוסחאות בגאומטריה - רשימת נוסחאות בטריגונומטריה - נוסחאות גזירה - חוקי הלוגריתמים

עריכהפורטלים קרובים

מחשבים	אינטרנט	פיזיקה	כימיה	כלכלה	מדעי המחשב

עריכהקדימה, לעבודה!

ערכים המחפשים עורכים

דיונים, ייעוץ ועזרה להסבר על עריכת נוסחאות מתמטיות ראו עזרה:נוסחאות לשאלות במתמטיקה בקרו בשאל את המומחה – שאלות במדעים מדויקים

מהו פורטל? – רשימת כל קטגוריות המשנה והערכים