פורטל:מתמטיקה

רענון הפורטל כיצד אוכל לעזור?    

עריכהמבוא

המתמטיקה מוגדרת לעתים קרובות כלמידת הדפוסים והתבניות של מבנה, שינוי ומרחב, ואפיונם. מנקודת מבט מודרנית, מתמטיקה היא השימוש בלוגיקה פורמלית לחקירת מערכות ומבנים מופשטים שהוגדרו אקסיומטית.

מוצאם של רוב המבנים הנחקרים במתמטיקה הוא ממדעי הטבע, לרוב מפיזיקה, אך מתמטיקאים מרבים להגדיר ולחקור מבנים מסיבות פנימיות לחלוטין למתמטיקה עצמה, למשל לשם ביצוע הכללה מאחדת של תחומים מתמטיים אחדים או ככלי שימושי לביצוע חישובים. יש אפוא מתמטיקאים רבים שחוקרים תחומים מסוימים מסיבות אסתטיות לחלוטין, בראיית המתמטיקה כאמנות במידת מה יותר מכמדע שימושי.

לערך המלא

עריכהאנחנו ממליצים

עריכהערכים מומלצים במתמטיקה אריתמטיקה - חזקה (מתמטיקה) - חידות חיתוך והרכבה - מגדלי האנוי - מערכות מספרים - משפט פיתגורס - משפט קנטור - קבוצת קנטור - קריפטוגרפיה עריכהמאמר נבחר משפט פיתגורס הוא משפט גאומטרי, הנחשב לאחד המשפטים המתמטיים הנודעים ביותר. הוא קובע שסכום שטחי הריבועים, הבנויים על הניצבים במשולש ישר-זווית, שווה לשטח הריבוע הבנוי על היתר (הניצבים הם שתי צלעות הזווית הישרה, והיתר הוא הצלע הארוכה של המשולש). בניסוח פורמלי: אם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית הם $a$ ו-$b$, ואורך היתר הוא $c$, אז: $a^2+b^2=c^2$. המשפט ההפוך, הקובע שמשולש שבו ריבוע צלע אחת שווה לסכום ריבועי הצלעות האחרות הוא ישר-זווית, נכון גם הוא. המשפט נקרא על שם המתמטיקאי והפילוסוף היווני פיתגורס, שחי במאה ה-6 לפנה"ס על אף שאת המשפט עצמו הכירו בתרבויות עתיקות מאות שנים לפני זמנו. בעיה מפורסמת מתורת המספרים היא מציאת משולשים ישרי זווית שאורכי הצלעות שלהם הינם מספרים שלמים, כלומר למצוא פתרונות שלמים למשוואה הדיופנטית: $a^2+b^2=c^2$. שלשה של מספרים כאלה קרויה שלשה פיתגורית, וידוע שיש אינסוף שלשות מסוג זה. דוגמה לשלשה פיתגורית הם המספרים 3,4,5 שכן הם מקיימים את המשוואה: $(9+16=25)3^2+4^2=5^2$. לערך המלא לרשימה המלאה

עריכהמומלצי פורטל נוספים אוריינטציה - אי-שוויון הממוצעים - אי-שוויון קושי-שוורץ - בקבוק קליין - המשפט היסודי של האלגברה - המשפט היסודי של האריתמטיקה - השערת גולדבך החלשה - השערת פואנקרה - טופולוגיה - יריעה אלגברית - ערך עצמי - פאון משוכלל עריכהמתמטיקאי נבחר תאלס איש מילטוס (ביוונית: Θαλής), פילוסוף יווני מן האסכולה המילטית, חי בין 624 עד 546 לפנה"ס בקירוב, ותקופת הפריחה שלו בסביבות 590 לפנה"ס. הפילוסוף המוכר הראשון בתולדות הפילוסופיה המערבית. נחשב לאחד משבעת חכמי יוון, ולעיקרי שבהם. עסק באסטרונומיה, גאומטריה וקוסמולוגיה. הוכיח את משפט תאלס, הנקרא על שמו. תאלס נולד במילטוס, אשר באסיה הקטנה (כיום טורקיה). במקצועו היה סוחר שמנים מהמעמד העליון. ערך מסעות רבים באסיה הקטנה ובמצרים, בהם למד רעיונות רבים שהשפיעו על הגותו. הוא עסק, בין השאר, גם בפיתוח יישומים מעשיים לרעיונותיו, כגון מציאת שיטה לקביעת מיקומה של ספינה הנראית מן החוף, אבל את עיקר מחשבתו הקדיש לרעיונות מופשטים כלליים. לערך המלא לרשימת הביוגרפיות המלאה

עריכהאיך נראית מתמטיקה?

עריכהתמונה נבחרת זוויות אוילר הן שלוש זוויות במרחב האוקלידי המשמשות לתאר סיבוב בשלושה ממדים. כיוון שכל סיבוב כללי במרחב תלת-ממדי ניתן לייצוג על ידי הרכבה של שלושה סיבובים, ניתן לתאר כל סיבוב נתון על ידי שלוש זוויות אלו. לזוויות אוילר שימושים בפיזיקה ובפרט בתחום המכניקה של גוף קשיח. לגלריית התמונות

עריכהאנימציה נבחרת אנימציה תלת-ממדית המציגה את היטליו של טסרקט, גוף ארבע ממדי המהווה הכללה של הקובייה התלת ממדית. לגלריית האנימציות

עריכהרוצים לשמוע משהו מסקרן?

עריכההידעת?

גאורג קנטור

ברטראנד ראסל

שני הפרדוקסים המרכזיים של תורת הקבוצות הנאיבית, פרדוקס קנטור ופרדוקס ראסל קשורים קשר הדוק.

פרדוקס קנוטור מבוסס על "קבוצת כל הקבוצות". לפי משפט קנטור קבוצת החזקה של "קבוצת כל הקבוצות" חייבת להיות גדולה בעוצמתה מ"קבוצת כל הקבוצות". מה שעומד בסתירה לכך שקבוצת החזקה היא תת-קבוצה של "קבוצת כל הקבוצות".

אם מנתחים את הוכחת משפט קנטור במקרה הזה, מגלים שנקדת המפתח היא חקר "קבוצת כל הקבוצות שאינן איבר של עצמן" אשר מוביל לסתירה. על "קבוצה" זאת מבוסס פרדוקס ראסל.

אפשר לומר כי פרדוקס ראסל הוא מיצוי של הסתירה מתוך פרדוקס קנטור.

לקטעי "הידעת?" נוספים

עריכהציטוט נבחר

מתמטיקאים הם בני אדם, אלא שהם מסתירים זאת היטב.

— עמוס נוי

לאוסף הציטוטים המלא

עריכהנוסחה נבחרת

$$\zeta (s):=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-s}=\prod _{p-\text{ ינושאר}}{(1-p^{-s})}^{-1}$$ נוסחת המכפלה של אוילר עבור פונקציית זטא של רימן. הנוסחה עומדת בבסיסה של תורת המספרים האנליטית ומאפשרת לקבל מידע רב על ההתפלגות של מספרים ראשוניים באמצעות אנליזה מרוכבת של פונקציית זטא של רימן.

לאוסף הנוסחאות

עריכהחידה

חידת מונטי הול: בשעשעון טלוויזיה ישנן שלוש דלתות. מאחורי אחת מהן ישנו פרס גדול, ומאחורי כל אחת משתי האחרות יש עז. המשתתף מתבקש לבחור אחת מהדלתות, אבל לאחר הבחירה מנחה התוכנית אינו פותח את הדלת שנבחרה, אלא את אחת משתי הדלתות האחרות, ומראה למשתתף שמאחוריה יש עז. עכשיו המשתתף יכול לדבוק בבחירה המקורית שלו או להחליף לדלת השלישית שנותרה. מה עדיף לו לעשות?

לחידות נוספות, לחידות קשות יותר

עריכהאיפה עוד אפשר לקרוא על מתמטיקה?

עריכהאוצרות הרשת בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של אתרי אינטרנט הפועלים להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. אתר היום: Plus (באנגלית) מגזין אינטרנט בריטי, שנועד לחשוף את הקורא לקסם של המתמטיקה, ועושה זאת בהצלחה רבה, באמצעות מאמרים, ראיונות, חידות ומשחקים. לאוצרות נוספים

עריכהמדף הספרים בחלון זה מופיעה תצוגה מתחלפת של ספרי מתמטיקה שנועדו להנגשת המתמטיקה לציבור הרחב. ספר היום: איאן סטיוארט, לאַלף את האינסוף - סיפורה של המתמטיקה, ספרי עליית הגג וידיעות ספרים, 2012 זהו מבוא פופולרי מקיף לתולדות המתמטיקה, מראשית ייצוגם של מספרים בפרהיסטוריה ועד להוכחת השערת פואנקרה בתחילת המאה ה-21. המחבר מציין: "רשימת הנושאים שאינם מופיעים בספר ארוכה יותר מרשימת אלה שכן מופיעים בו". תוצאה זו בלתי-נמנעת, בהתחשב ברוחב היריעה של המתמטיקה, אך הספר עוסק בקשת רחבה של נושאים, תוך הצגת המתמטיקאים, העצמים והרעיונות המרכיבים את ההיסטוריה של המתמטיקה. לספרים נוספים

עריכהמשפטים והשערות מפורסמים

מבט אל הלוח – תצוגה מתחלפת של השערה או משפט

משפט רייס הוא משפט מרכזי בתחום החישוביות, שעוסק ביכולת של אלגוריתמים לחקור אלגוריתמים אחרים. המשפט קובע שאין תוכנית מחשב שמקבלת כקלט תוכנית מחשב אחרת, ומכריעה האם הפונקציה שמחשבת תוכנית מחשב זו היא בעלת תכונה מסוימת "לא-טריוויאלית" או לא. (כלומר, תכונות אשר מאפיינות חלק מהפונקציות שמחושבות בידי תוכנית מחשב, אך לא את כולן) יש לשים לב שהתכונה היא תכונה של הפונקציה, ולא של תוכנית המחשב עצמה. באופן אינטואיטיבי המשפט טוען שתוכנית מחשב אינה יכולה לדעת מה תוכנית מחשב אחרת עושה (כי אז היא הייתה צריכה להריץ אותה, וזה שקול לבעיית העצירה).

לערך המלא

מבט על משפטים והשערות נוספים

עריכהקישורים שימושיים

רשימת משפטים מתמטיים - נוסחאות בגאומטריה - רשימת נוסחאות בטריגונומטריה - נוסחאות גזירה - חוקי הלוגריתמים

עריכהפורטלים קרובים

מחשבים	אינטרנט	פיזיקה	כימיה	כלכלה	מדעי המחשב

עריכהקדימה, לעבודה!

ערכים המחפשים עורכים

דיונים, ייעוץ ועזרה להסבר על עריכת נוסחאות מתמטיות ראו עזרה:נוסחאות לשאלות במתמטיקה בקרו בשאל את המומחה – שאלות במדעים מדויקים

מהו פורטל? – רשימת כל קטגוריות המשנה והערכים