פורטל:מתמטיקה/חידות קשות/9

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית

< פורטל:מתמטיקה

קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

האם קיימים 3 מספרים ראשוניים שונים $p,q,r$ ש:

$p^{2}+d$ מתחלק ב- $qr$ ,

$q^{2}+d$ מתחלק ב- $pr$

$r^{2}+d$ מתחלק ב- $pq$

כאשר:
א) d=10
ב) d = 11 ?

פתרון

א) תשובה:

נניח בשלילה שקיימים מספרים כאלו. נניח ללא הגבלת הכלליות $p<q<r$ . המספר האי-זוגי $q^{2}+10$ מתחלק ב $pr$ , מכאן $p$ אי-זוגי (ומכיוון שהוא ראשוני זה שקול לכך שהוא לא 2). לכן $q\geq p+2,r\geq p+4$ כי הראשונים הקטנים ביותר ש-q,r יכולים להיות הם 5 ו-7. ואז נקבל $qr\geq (p+2)(p+4)=p^{2}+6p+8>p^{2}+10$ ומכיוון שמספר לא יכול להתחלק במספר שגדול ממנו, $p^{2}+10$ לא מתחלק ב- $qr$ .
ב) תשובה: קיימים: 2, 3, 5. זה גם המקרה היחיד, הרי בסעיף א' ראינו שהאי-קיום נבע מכך שאף-אחד מהראשוניים לא היה 2 ואז $q\geq p+2,r\geq p+4$ אזי קל להבין שזו היא השלשה האפשרית היחידה.
חידת בונוס: על איזה תנאים d צריך לענות בשביל שיהיו קיימים מספרים ראשוניים אלה?