קואורדינטות בריצנטריות

דוגמה למערכת קואורדינטות בריצנטריות במשולש שווה-צלעות

במתמטיקה, מערכת של קואורדינטות בָּרִיצֶנְטְרִיוֹת היא מערכת קואורדינטות שבה מתואר מקומה של נקודה ביחס לקודקודי סימפלקס מסוים (למשל משולש). בקואורדינטות אלה השתמש לראשונה אוגוסט פרדיננד מביוס.

במקרה הפשוט, בהינתן משולש $\triangle ABC$ , כל נקודה P ניתן לכתוב על ידי $P={{{\lambda }_{1}A+{\lambda }_{2}B+{\lambda }_{3}C} \over {{\lambda }_{1}+{\lambda }_{2}+{\lambda }_{3}}}$ עבור ${\lambda }_{1},{\lambda }_{2},{\lambda }_{3}$ סקלרים כלשהם, כאשר מתייחסים לנקודות A, B ו-C כווקטורים. הנקודה תלויה בווקטור הקואורדינטות $(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})$ רק עד כדי כפל בסקלר, ולכן מקובל להניח ${\lambda }_{1}+{\lambda }_{2}+{\lambda }_{3}=1$ . הנקודה P נמצאת בתוך המשולש אם ורק אם כל המקדמים חיוביים.

הנקודה P שהקורדינאטות שלה הן $(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})$ היא מרכז המסה של המערכת, אם לנקודות A,B,C יש מסות של $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$ .

המקרה הכללי

באופן כללי עבור קודקודי סימפלקס $\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}$ במרחב אפיני A. אם עבור נקודה $\mathbf {p}$ בA ומתקיים

(a_{1}+\cdots +a_{n})\mathbf {p} =a_{1}\,\mathbf {x} _{1}+\cdots +a_{n}\,\mathbf {x} _{n}

ולפחות אחד מ $a_{1},\ldots ,a_{n}$ אינו מתאפס אומרים שהמקדמים ( $a_{1},\ldots ,a_{n}$ ) הם קואורדינטות בריצנטריות של $\mathbf {p}$ ביחס ל- $\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}$ . קואורדינטות הקודקודים $\mathbf {x} _{1}=(1,0,0,\ldots ,0),\mathbf {x} _{2}=(0,1,0,\ldots ,0),\ldots ,\mathbf {x} _{n}=(0,0,0,\ldots ,1)$ . כאשר הקואורדינטות אינן שליליות, הנקודה $\mathbf {p}$ נמצאת בקמור של $\mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{n}$ , כלומר בתוך הסימפלקס שמוגדר על ידי הקודקודים.