כפל בסקלר

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באלגברה, כפל וקטור בסקלר היא אחת הפעולות הבסיסיות המאפיינות מרחב וקטורי (ובאופן כללי יותר: מודול). כפל וקטור בסקלר שונה ממכפלה סקלרית, שהיא מכפלה פנימית בין שני וקטורים.

ביתר פירוט: אם K הוא שדה ו-V הוא מרחב וקטורי מעל K, כפל וקטור בסקלר הוא פונקציה מ- K × V אל V. התוצאה של הפעלת הפונקציה על ועל מסומנת .

כפל וקטור בסקלר מקיים את התכונות הבאות:

  • דיסטריבוטיביות משמאל: הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \ (c+d)v=cv+dv} .
  • דיסטריבוטיביות מימין: .
  • אסוציאטיביות: .
  • כפל ב-1 אינו משנה את הווקטור: .
  • כפל ב-0 נותן את וקטור האפס: .
  • כפל ב-1- נותן את הווקטור הנגדי (ביחס לחיבור וקטורים): .

הסימן + בתכונות דלעיל מייצג חיבור בשדה או במרחב הווקטורי, בהתאם להקשר.

ניתן לראות כפל וקטור בסקלר כפעולת חבורה של השדה על המרחב הווקטורי. אינטרפרטציה גאומטרית של כפל וקטור בסקלר היא מתיחה או כיווץ של הווקטור.

כמקרה פרטי, ניתן לקחת את השדה K עצמו כמרחב הווקטורי V, ולקבל את פעולת הכפל בשדה.

הרעיון המתואר לעיל מתקיים גם כאשר K הוא חוג קומוטטיבי ו-V הוא מודול מעל K.

דוגמאות

  • במרחב הווקטורי הסטנדרטי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{F}^n} כפל בסקלר מוגדר לפי הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle c(a_{1},\ldots ,a_{n})=(ca_{1},\ldots ,ca_{n})} . בפרט במרחב האוקלידי כפל בסקלר c הוא מתיחה או כיווץ של הווקטור בשיעור c. למשל .
  • במרחב הפונקציות הממשיות כפל בסקלר מוגדר כך שלכל x ממשי מתקיים .
סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0