קטנואיד

קטנואיד

אנימציה של מעבר ממשטח בורגי לקטנואיד

בגאומטריה, קטנואיד (באנגלית: Catenoid) הוא משטח ישרים תלת-ממדי, אחרי המישור, הקטנואיד הוא המשטח בעל שטח קטן ביותר, עובדה זו הוכחה על ידי לאונרד אוילר בשנת 1744. הקטנואיד הוא גם משטח סיבוב. המשוואה הפרמטרית של קונואיד היא:

${\begin{aligned}x&=c\cos(u)\cosh \left({\frac {v}{c}}\right)\\y&=c\sin(u)\cosh \left({\frac {v}{c}}\right)\\z&=v\end{aligned}}$

כאשר $u,c$ מספרים ממשים ו-$c\neq 0$ .

המשוואה הפרמטרית של קטנואיד בקואורדינטות גליליות היא:

$\rho =c\cosh \left({\frac {v}{c}}\right)$

כאשר $c$ מספר ממשי.

מעבר מקטנואיד למשטח בורגי

קיימת פונקציה רציפה ואיזומטרית בין קטנואיד למשטח בורגי, שהיא בעל המשוואה הפרמטרית הבאה:

${\begin{aligned}x(u,v)&=\cos(\theta )\sin(u)\sinh(v)+\sin(\theta )\cos(u)\cosh(v)\\y(u,v)&=\sin(\theta )\sin(u)\cosh(v)-\cos(\theta )\cos(u)\sinh(v)\\z(u,v)&=u\cos(\theta )+v\sin(\theta )\end{aligned}}$

ומוגדרים $(u,v)\in (-\pi ,\pi ]\times (-\infty ,\infty ),\theta \in (-\pi ,\pi ]$

שימושים

תכנון בניית איגלו בצורה סיבובית

האינואיטים בונים את האיגלו שלהם בצורת קטנואיד כך שיהיה יחס אופטימלי בין הגובה לקוטר, כך שלא יהיה חשש לקריסה של המבנה.