תבנית קילינג

באלגברה מופשטת, תבנית קילינג (נקראת על שם וילהלם קילינג) היא תבנית בילינארית הקשורה לאלגברת לי נתונה. תפקידה המרכזי הוא במתן תנאי הכרחי ומספיק להיותה של אלגברת לי פשוטה למחצה.

הגדרה פורמלית

תהי $L$ אלגברת לי נתונה מעל שדה $F$. תבנית קילינג של $L$ היא התבנית

$k(x,y)=\operatorname {Tr} (\operatorname {ad} x\operatorname {ad} y)$

כאשר $\operatorname {ad}$ הוא ההצגה הצמודה ו-$\operatorname {Tr}$ היא העקבה.

תכונות בסיסיות

• תבנית קילינג היא סימטרית.

• תבנית קילינג אסוציאטיבית, במובן ש-$k([x,y],z)=k(x,[y,z])$.

• הרדיקל $\operatorname {Rad} (k)=\left\{x\in L\mid k(x,L)=0\right\}$ של תבנית קילינג הוא אידאל.

• התבנית נשמרת על ידי אוטומורפיזמים של $L$, כלומר $k(g(x),g(y))=k(x,y)$ לכל אוטומורפיזם $g$ של $L$.

הקשר לאלגברות לי פשוטות למחצה

בעזרת תבנית קילינג אפשר לנסח תנאי הכרחי ומספיק להיותה של אלגברת לי פשוטה למחצה:

משפט: תהי אלגברת לי $L$ מעל שדה סגור אלגברית ובעל מאפיין אפס. אז $L$ היא פשוטה למחצה אם ורק אם תבנית קילינג שלה רגולרית, כלומר: הרדיקל שלה אפס $\operatorname {Rad} (k)=0$.

הוכחה: נניח ש-$L$ פשוטה למחצה. נוכיח כי $\operatorname {Rad} (k)$ אידאל פתיר, ולכן אפס. יהיו $x\in \operatorname {Rad} (k),y\in L$, מתקיים $\operatorname {Tr} (\operatorname {ad} x\cdot \operatorname {ad} y)=0$. זה נכון בפרט ל-$y\in [\operatorname {Rad} (k),\operatorname {Rad} (k)]\subseteq L$, ולכן לפי קריטריון קרטן $\operatorname {Rad} (k)$ פתיר.

בכיוון ההפוך, נניח ש-$k$ רגולרית, כלומר $\operatorname {Rad} (k)=0$. תנאי מספיק (ובעצם שקול) להיותה של $L$ פשוטה למחצה הוא שכל אידאל אבלי (אידאל $I$ המקיים $[I,I]=0$) הוא אפס (אכן, אם L לא פשוטה למחצה, אז הרדיקל שלה הוא פתיר ולא אפס, ואפשר לבחור את החזקה אחת לפני האחרונה בסדרת הנגזרת שלו שיהיה אבלי ולא אפס).

אם כן יהי $I$ אידאל אבלי, נוכיח שהוא אפס. יהיו $x\in I,y\in L$, נביט במיפוי $\operatorname {ad} x\cdot \operatorname {ad} y:L\rightarrow I$. אזי המיפוי בריבוע הוא ${(\operatorname {ad} x\cdot \operatorname {ad} y)}^{2}:L\rightarrow [I,I]=0$, לכן $\operatorname {ad} x\cdot \operatorname {ad} y$ איבר נילפוטנטי, ולכן $k(x,y)=Tr(\operatorname {ad} x\cdot \operatorname {ad} y)=0$. כלומר $I\subseteq \operatorname {Rad} (k)=0$, ולכן הוא אפס.

דוגמה

כאמור תבנית קילינג מהווה קריטריון להיות של אלגברת לי פשוטה למחצה. בעזרתה אפשר להוכיח כי האלגברה $sl(2,F)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}:a,b,c\in F\right\}$ פשוטה למחצה.

אכן, לפי הבסיס הסטנדרטי $\left\{x={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},h={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\right\}$, המטריצה המייצגת היא ${\begin{pmatrix}0&0&4\\0&8&0\\4&0&0\end{pmatrix}}$ שהיא מטריצה הפיכה (במאפיין שאיננו 2).

זוהי למעשה דוגמה לאלגברת לי פשוטה למחצה מממד 3, הנמוך ביותר האפשרי (כל אלגברת לי ממד 1 או 2 אינה פשוטה למחצה).