תורת ההפרעות התלויה בזמן

תורת ההפרעות התלויה בזמן היא טכניקה לפתרון בעיות מסובכות במכניקת הקוונטים, שהיא מקרה פרטי של תורת ההפרעות כאשר להמילטוניאן המייצג את המערכת נוספת הפרעה המשתנה בזמן.

השיטה מתבססת למעשה על חלוקה של ההמילטוניאן של המערכת לשני חלקים:

1. ההמילטוניאן הלא מופרע - לרוב המילטוניאן שאותו ניתן לפתור או שיש לו קירובים ידועים יותר
2. ההפרעה התלויה בזמן - ביטוי התורם לאנרגיה וקשה לחשב אותו

ניתן לחזור על חלוקה זו מספר פעמים וזאת בתנאי שההפרעה בכל שלב היא קטנה יותר בסדרי גודל מההפרעות הקודמות.

בתורת ההפרעות התלויה בזמן בדרך כלל מנסים לחשב כיצד תעבור המערכת בין מצביה העצמיים (הלא מופרעים) בעקבות ההפרעה.

הנוסחה הכללית

עבור הפרעה $\ V(t)$ רוצים לפתור את משוואת שרדינגר

$\ i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle =\left(H_{0}+\lambda V(t)\right)|\psi \rangle$

מנחשים פתרון מופרע

$\ |\psi (t)\rangle =\sum _{n}c_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle$

כאשר בגבול $\lambda \to 0$ המקדמים c_n מתנוונים לקבועים בזמן. חשוב לציין שהמצבים $|n\rangle$ הם המצבים העצמיים של ההמילטוניאן הלא-מופרע H₀.

מציבים אותה במשוואה ומטילים על מצב עצמי כלשהו, ובכך מקבלים מערכת משוואות דיפרנציאליות מצומדות עבור המקדמים $\ c_{n}(t)$

$\ i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}c_{n}(t)=\lambda \sum _{k}c_{k}(t)e^{i(E_{n}-E_{k})t/\hbar }\langle n|V(t)|k\rangle$

אם נסמן $\ \omega _{nk}=(E_{n}-E_{k})/\hbar$ ו $\ V_{nk}=\langle n|V(t)|k\rangle$ נקבל את הצורה הסופית

$\ i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}c_{n}(t)=\lambda \sum _{k}e^{i\omega _{nk}t}V_{nk}c_{k}(t)$

אפשר לפתור את המשוואה על ידי לכסון מטריצת ההפרעה המוכפלת ב"תדירויות ההפרשים". לרוב, הפתרון הכללי מסובך ולכן רוצים לחשב מהי האמפליטודה לעבור ממצב עצמי התחלתי $\ |b\rangle$ למצב עצמי סופי $\ |f\rangle$. במקרה זה, מאחר ש $\ c_{k}(t_{0})=\delta _{kb}$ בסדר ראשון, סט המשוואות הדיפרנציאליות מתפשט ל

$\ i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}c_{f}^{(1)}(t)=\lambda e^{i\omega _{fb}t}V_{fb}c_{b}^{(1)}(t)$

שפתרונה הוא התיקון מסדר ראשון לפונקציית הגל

$\ c_{f}^{(1)}(t)=-{\frac {i}{\hbar }}\lambda \int _{t_{0}}^{t}{V_{fb}(t)e^{i\omega _{fb}t}dt}$

כאשר t₀ הוא הזמן שממנו מתחילה ההפרעה. פיתוח זה תקף רק עבור $\lambda <<1$ ו $\ |c_{f}|^{2}<<1$.

תהליך אדיאבטי

בתהליך אדיאבטי ההפרעה משתנה לאט מאוד כתלות בזמן. במקרה זה, המצב העצמי ה-n-י הלא מופרע משתנה בצורה רציפה למצב ה-n-י המופרע המקביל לו והאנרגיה משתנה כך גם כן.

נניח הפרעה משתנה בזמן

$V(t)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{if }}t=-\infty \\\lambda Ve^{t/\tau }&{\mbox{if }}t<0\\\lambda V&{\mbox{if }}t\geq 0\end{matrix}}\right.$

כאשר השינוי בהפרעה איטי מאוד, אזי:

$\ |n(t\to +\infty )\rangle \to |n'\rangle$

כאשר $\ (H+\lambda V)|n'\rangle =E_{n}'|n'\rangle$ ואותם אפשר למצוא באמצעות תורת ההפרעות שאינה תלויה בזמן.

הפתרון במקרה זה הוא

$\ |\psi _{n}(t)\rangle =e^{-{\frac {i}{\hbar }}\int ^{t}{E_{n}(t')dt'}}|n(t)\rangle$

וזה פתרון רק אם השינוי בפונקציית הגל של המצב העצמי הוא מאוד איטי, כלומר, בגבול $\tau \to \infty$ .

הפרעה מחזורית

נניח הפרעה מחזורית $\ V(t)=V\sin(\omega t)$ בתדירות $\omega$. כמו בנוסחה הכללית נסמן $\ \omega _{fb}=\left(E_{f}-E_{b}\right)/\hbar$ . במקרה זה, האמפליטודה למעבר ממצב b למצב f היא

$\ c_{f}^{(1)}=-{\frac {i}{\hbar }}\lambda V_{fb}\int _{0}^{t}{e^{i\omega _{fb}t'}\sin(\omega t')dt'}={\frac {i\lambda V_{fb}}{2\hbar }}\left({\frac {1-e^{i(\omega _{fb}+\omega )t}}{\omega _{fb}+\omega }}+{\frac {1-e^{i(\omega _{fb}-\omega )t}}{\omega _{fb}-\omega }}\right)={\frac {i\lambda V_{fb}}{2\hbar }}(A_{+}+A_{-})$

האיבר $\ A_{-}$ מייצג בליעה של פוטון ועלייה ברמת האנרגיה, ואילו האיבר $\ A_{+}$ מייצג פליטה של פוטון וירידה ברמת האנרגיה. כל איבר נהייה דומיננטי כאשר התדירות קרובות להפרש האנרגיות המתאים. אנו נניח ש $\ \omega \approx \omega _{fb}$ ואז $\ A_{-}$ דומיננטי. במקרה זה, ההסתברות למעבר רמות מ-b ל-f היא:

${\mbox{Prob}}_{b\to f}=|c_{f}|^{2}={\frac {\lambda ^{2}|V_{f}b|^{2}}{4\hbar ^{2}}}|A_{-}|^{2}={\frac {\lambda ^{2}|V_{f}b|^{2}}{4\hbar ^{2}}}\left|e^{i{\frac {\omega _{fb}-\omega }{2}}t}\right|\cdot \left|{\frac {\sin \left((\omega _{fb}-\omega )t/2\right)}{(\omega _{fb}-\omega )/2}}\right|^{2}$

הסתברות למעבר רמה כתלות בתדירות ההפרעה. ההסתברות מתנהגת כמו פונקציית sinc סביב הפרש האנרגיות בין הרמות

ניתן לראות שההסתברות מתנהגת כמו פונקציית ${\mbox{sinc}}(\zeta )=\sin(\zeta )/\zeta$ בריבוע כאשר $\zeta =(\omega _{fb}-\omega )t/2$. רק כאשר תדירות ההפרעה מקיימת $\ \omega _{fb}-{\frac {2\pi }{t}}<\omega <\omega _{fb}+{\frac {2\pi }{t}}$ יש הסתברות משמעותית למעבר רמות. תופעה זאת נקראת רזוננס, שבה המערכת מגיבה רק לתדירות אחת. רוחב עקומת התהודה הוא $\ 4\pi /t$ ועבור $\ \omega \to \omega _{fb}$ מקבלים שההסתברות למעבר רמות פרופורציונית למשך ההפרעה:

${\mbox{Prob}}_{b\to f}={\frac {\lambda ^{2}|V_{fb}|^{2}}{4\hbar ^{2}}}|t|^{2}$

הניתוח לעיל תקף עבור $\ {\frac {4\pi }{\omega _{fb}}}<<t<<{\frac {2\hbar }{\lambda |V_{fb}|}}$, כלומר:

1. על המערכת לדגום מחזורים רבים של ההפרעה. תנאי זה נובע מרוחב עקומת התהודה.
2. התנאי השני נובע מדרישת תקפות הפיתוח של תוה"פ, ש $\ |c_{f}|^{2}<<1$ . בשביל שיהיה t מספיק גדול שעבורו התנאי הראשון יתמלא, על ההפרעה להיות קטנה מאוד מהפרש האנרגיות, כלומר: $\ |V_{fb}|<<\hbar \omega _{fb}=E_{f}-E_{b}$.

תמונת האינטראקציה של דיראק

בתמונת האינטראקציה של דיראק מעבירים את התלות הטריוויאלית בזמן, זו הנובעת מ-H₀, ההמילטוניאן הלא מופרע, מפונקציות הגל לאופרטורים. אזי:

$\ |\psi (t)\rangle _{Sc}\to |\psi (t)\rangle _{I}=e^{iH_{0}t/\hbar }|\psi \rangle _{Sc}$

$\ A_{Sc}\to A_{I}=e^{iH_{0}t/\hbar }A_{Sc}e^{-iH_{0}t/\hbar }$

ואז הנוסחה הכללית למצב המופרע נהפכת ל

$\ |\psi (t)\rangle _{I}=\sum _{n}c_{n}(t)|n\rangle$

כאשר $\ {\dot {c_{n}}}\neq 0\iff \lambda V\neq 0$. משוואת התנועה הופכת להיות

$\ i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle _{I}=\lambda V_{I}(t)|\psi \rangle _{I}$

ופתרונה הכללי הוא

$\ |\psi (t)\rangle _{I}=e^{-{\frac {i}{\hbar }}\lambda \int _{0}^{t}{V_{I}(t')dt'}}|\psi (0)\rangle _{I}$

כאשר אנו מניחים ש $\ \forall t_{1},t_{2}\ :\ \left[V_{I}(t_{1}),V_{I}(t_{2})\right]=0$.

נסמן $\ U_{I}=e^{-{\frac {i}{\hbar }}\lambda \int _{0}^{t}{V_{I}(t')dt'}}$ את האופרטור של הקידום בזמן של ההפרעה. זהו אופרטור יוניטרי.

אזי ההסתברות לעבור ממצב עצמי b למצב עצמי f נתונה על ידי

$\ {\mbox{Prob}}_{b\to f}=|\langle f|U_{I}(\lambda )|b\rangle |^{2}$

וכדי לפתור זאת, מפתחים את אופרטור הקידום בזמן של ההפרעה לפי $\lambda$ במה שנקרא סדרת דייסון

$\ U_{I}(t)=e^{-{\frac {i}{\hbar }}\lambda \int _{0}^{t}{V_{I}(t')dt'}}=1+\lambda U_{I}^{(1)}+\lambda ^{2}U_{I}^{(2)}+\cdots$.

כדי לחשב במפורש את התיקונים בסדרת דייסון, נשים לב שאופרטור הקידום בזמן של ההפרעה מקיים את המשוואה הבאה

$\ i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}U_{I}(t)=\lambda V_{I}(t)U_{I}(t)$

מציבים ופותרים לכל סדר, וכך למשל מקבלים את התיקון הראשון

$\ U_{I}^{(1)}(t)=-{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}{V_{I}(t')dt'}$

את התיקון השני

$\ U_{I}^{(2)}(t)=\left(-{\frac {i}{\hbar }}\right)^{2}\int _{0}^{t}{dt'V_{I}(t')\int _{0}^{t'}{dt''V_{I}(t'')}}$

כאשר תמיד מתקיים $\ 0\leq t''<t'<t$.

התיקון הראשון מייצג מעבר בין b ל-f בקפיצה אחת, התיקון השני מייצג מעבר בין b ל-f ב-2 קפיצות דרך רמת ביניים אחת, השני מייצג מעבר בין b ל-f ב-3 קפיצות דרך 2 רמות ביניים, וכן הלאה.

ראו גם

• דינמיקה קוונטית
• תורת ההפרעות
• אוסצילציות רבי

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

24729491תורת ההפרעות התלויה בזמן