תורת ההפרעות (מכניקת הקוונטים)

תורת ההפרעות (בתרגומים ישנים מכונה גם טרידה) היא שיטה לפתרון מקורב של בעיות במכניקת הקוונטים, על ידי שימוש בתורת ההפרעות המתמטית. עיקר השיטה הוא הפרדת הבעיה הפיזיקלית לשתי תת-בעיות: בעיה עיקרית "מוכרת" שפתרונותיה ידועים כבר, ובעיה נוספת (בעלת ערכים קטנים ביחס לבעיה העיקרית) שפתרונותיה אינם ידועים- זוהי ההפרעה. המשמעות המתמטית של התייחסות זו, היא שניתן להביע את הפתרונות של בעיית ההפרעה באמצעות הפתרונות של הבעיה המוכרת. כך, דרך הפרדת הבעיה לשתי תת-בעיות, ופתרון של אחת מהן באמצעות האחרת, מתקבל הפתרון הכולל של המערכת. דוגמה מוכרת למערכת שניתן להתייחס אליה כאל מערכת "מופרעת" היא אדוות מים באגם - במקרה זה צורת פני המים באגם שקט הוא בעיה שפתרונה כבר מוכר לנו, והאדוות מהוות את ההפרעה במערכת.

כללי

השיטה מתבססת על חלוקת ההמילטוניאן של המערכת לשני חלקים:

1. ההמילטוניאן הלא מופרע - לרוב המילטוניאן אותו ניתן לפתור או שיש לו קירובים ידועים יותר
2. ההפרעה - ביטוי התורם לאנרגיה וקשה לחשב אותו

ניתן לחזור על חלוקה זו מספר פעמים וזאת בתנאי שההפרעה בכל שלב היא קטנה יותר בסדרי גודל מההפרעות הקודמות.

שיטה זו נדרשת כאשר הספקטרום האנרגטי של המערכת ומצביה אינם ניתנים לחישוב מדויק (כפי שקורה במרבית האטומים והמולקולות).

אפשרויות אחרות לחישוב זה כוללות בין השאר:

1. ביצוע שיטת הוואריציה על ההמילטוניאן כפונקציונל של פונקציית הגל ומציאת מינימום האנרגיה (מתאים לחישוב אנרגיית היסוד).
2. חישוב בעזרת אנליזה נומרית של הערכים.

תורת ההפרעות שאינה תלויה בזמן

תורת ההפרעות שאינה תלויה בזמן היא מקרה פרטי של תורת ההפרעות כאשר ההמילטוניאן המייצג את המערכת אינו משתנה בזמן. את השיטה פיתח ארווין שרדינגר ב-1926.

התיקונים הראשונים (סיכום הנוסחאות)

נתון המילטוניאן לא מופרע, ונניח שיודעים לחשב את המצבים העצמיים והאנרגיות העצמיות שלו (ערכים עצמיים):

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H_0 | n^{(0)} \rangle = E_n^{(0)} | n^{(0)} \rangle }

נוסיף להמילטוניאן הפרעה, כלומר פוטנציאל חלש יחסית, כאשר $\lambda \ll 1$:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H = H_0 + \lambda V}

האנרגיות המתוקנות יהיו:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ E_n = E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots }

כאשר

התיקון הראשון לאנרגיה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_n^{(1)} = \langle n^{(0)} | V | n^{(0)} \rangle }

התיקון השני לאנרגיה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_n^{(2)} = \sum_{k \ne n} \frac{|\langle k^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle|^2} {E_n^{(0)} - E_k^{(0)}} }

המצבים המתוקנים יהיו:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ | n \rangle = | n^{(0)} \rangle + \lambda | n^{(1)} \rangle + \cdots}

כאשר

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |n^{(1)}\rang = \sum_{k \ne n} \frac{\langle k^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle}{E_n^{(0)} - E_k^{(0)}} |k^{(0)}\rang }

ואין ניוון.

פיתוח מתמטי

נתחיל בהמילטוניאן הלא מופרע, H₀, ונניח שאינו תלוי בזמן, ושאנו יודעים את רמות האנרגיה שלו והמצבים העצמיים שלו, הנובעים ממשוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_0 |n^{(0)}\rang = E_n^{(0)} |n^{(0)}\rang \quad,\quad n = 1, 2, 3, \cdots }

לשם פשטות, נניח כי ספקטרום האנרגיות דיסקרטי. ההפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (0)} העליון מסמל גדלים ששייכים למערכת הבלתי מופרעת.

כעת נציג את ההפרעה להמילטוניאן. יהי V פוטנציאל פיזיקלי חלש, ו־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda} גודל חסר ממדים, המבטא את חוזק ההפרעה ומקבל ערכים בין 0 (כלומר, אין הפרעה) ל־1 (הפרעה במלואה). ההמילוטניאן המופרע הוא לפיכך

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H = H_0 + \lambda V }

רמות האנרגיה והמצבים העצמיים של ההמילטוניאן המופרע נתונים על ידי משוואת שרדינגר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(H_0 + \lambda V \right) |n\rang = E_n |n\rang }

המטרה שלנו היא לבטא את E_n ו־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |n\rang} באמצעות רמות האנרגיה והמצבים העצמיים של ההמילטוניאן הישן (הלא מופרע). אם ההפרעה אכן חלשה, ניתן לכתוב אותם כטור חזקות ב־λ:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_n = E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |n\rang = |n^{(0)}\rang + \lambda |n^{(1)}\rang + \lambda^2 |n^{(2)}\rang + \cdots }

כאשר λ = 0, אנו חוזרים לערכים של מצב הלא מופרע, ולכן הם סדר אפס של הטורים. בגלל שההפרעה היא חלשה, האיברים הבאים קטנים והולכים ככל שאנו בסדר גבוה יותר.

נציב את טור החזקות במשוואת שרדינגר, ונקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{matrix} \left(H_0 + \lambda V \right) \left(|n^{(0)}\rang + \lambda |n^{(1)}\rang + \cdots \right) \qquad\qquad\qquad\qquad\\ \qquad\qquad= \left(E_n^{(0)} + \lambda E_n^{(1)} + \lambda^2 E_n^{(2)} + \cdots \right) \left(|n^{(0)}\rang + \lambda |n^{(1)}\rang + \cdots \right) \end{matrix}}

נפתח את המשוואה ונשווה איברים מסדר זהה ב־λ, וכך נקבל סדרה אינסופית של משוואות מצומדות. המשוואה מסדר אפס היא כמובן משוואת שרדינגר להמילטוניאן הלא מופרע. המשוואה עבור הסדר הראשון היא

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_0 |n^{(1)}\rang + V |n^{(0)}\rang = E_n^{(0)} |n^{(1)}\rang + E_n^{(1)} |n^{(0)}\rang }

נכפיל את שני האגפים ב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lang n^{(0)}|} משמאל. האיבר הראשון באגף ימין מתבטל עם האיבר הראשון באגף שמאל, ולכן השינוי באנרגיה מסדר ראשון הוא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_n^{(1)} = \langle n^{(0)} | V | n^{(0)} \rangle }

זה פשוט ערך תצפית של ההפרעה כאשר המערכת במצב לא מופרע. כדי לבטא את השינוי מסדר הראשון במצבים העצמיים, נכניס את הביטוי לשינוי מסדר ראשון באנרגיה חזרה במשוואה למעלה, ונשתמש בזהות

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V|n^{(0)}\rangle = \left( \sum_{k} |k^{(0)}\rangle\langle k^{(0)}| \right) V|n^{(0)}\rangle }

התוצאה היא

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(E_n^{(0)} - H_0 \right) |n^{(1)}\rang = \sum_{k \ne n} \left(\langle k^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle \right) |k^{(0)}\rang }

נניח שהרמה הזו אינה מנוונת. ולכן לאופרטור מצד שמאל יש הופכי מוגדר היטב, ונקבל:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |n^{(1)}\rang = \sum_{k \ne n} \frac{\langle k^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle}{E_n^{(0)} - E_k^{(0)}} |k^{(0)}\rang }

ניתן לקבל גם סדרים גבוהים יותר של תיקונים, אם כי החישוב נעשה מסובך יותר. לדוגמה, תיקון מסדר שני ניתן על ידי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_n^{(2)} = \sum_{k \ne n} \frac{|\langle k^{(0)}|V|n^{(0)} \rangle|^2} {E_n^{(0)} - E_k^{(0)}} }

עבור רמת היסוד מקבלים כי תיקון זה הוא תמיד שלילי (המונה הוא תמיד חיובי והמכנה מתקבל מחיסור אנרגיית מצב מעורר מאנרגיית מצב היסוד - ערך שהוא תמיד שלילי).

במקרה בו קיים ניוון התיקון מסדר ראשון לאנרגיה נקבע על ידי הערכים העצמיים של הפוטנציאל בתת-המרחב המנוון.

תורת ההפרעות התלויה בזמן

ערך מורחב – תורת ההפרעות התלויה בזמן

ישנן טכניקות לשימוש בתורת ההפרעות גם כאשר להמילטוניאן המייצג את המערכת נוספת הפרעה המשתנה בזמן. בתורת ההפרעות התלויה בזמן בדרך כלל מנסים לחשב כיצד תעבור המערכת בין מצביה העצמיים (הלא מופרעים) בעקבות ההפרעה.

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

תורת ההפרעות (מכניקת הקוונטים)32669338Q911364