תיבת גלטון

תיבת גלטון היא מכשיר שהומצא על ידי פרנסיס גולטון כדי להדגים את משפט הגבול המרכזי, ובפרט להדגים כיצד ההתפלגות הבינומית שואפת להתפלגות הנורמלית כאשר הפרמטר n (מספר ההטלות בבינומי) גדל. המכונה מורכבת מלוח אנכי ובו שורות מופרדות של סיכות. כדורים נזרקים מלמעלה, ומקפצים לשמאל ולימין כאשר הם נתקלים בסיכות. לבסוף, הם נאספים לתוך מכלים, כאשר כל מכל הוא ברוחב של כדור אחד. הגובה של עמודות הכדורים בתאים מקרב עקומה פעמונית. משולש פסקל מתאר את מספר המסלולים האפשריים כדי להגיע לכל מכל דרך הסיכות.

התפלגות הכדורים

אם כדור קופץ ימינה k פעמים בדרכו למטה (ושמאלה בסיכות הנותרות) הוא מסיים את המסלול במכל ה-k משמאל. נניח ש-n הוא מספר שורות הסיכות במכונה, מספר המסלולים למכל ה-k נתון על ידי המקדם הבינומי ${n \choose k}$ . אם ההסתברות לקפוץ ימינה מעל סיכה היא p (ששווה בערך ל-0.5 במכונה חסרת הטיה) ההסתברות של כדור לסיים את המסלול בתא ה-k שווה ${n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ . זאת פונקציית ההסתברות של ההתפלגות הבינומית. לפי משפט הגבול המרכזי, ההתפלגות הבינומית מתקרבת להתפלגות הנורמלית כאשר n, מספר שורות הסיכות במכונה, גדול.