התפלגות בינומית

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
התפלגות בינומית
פונקציית ההסתברות
Binomial distribution.svg
פונקציית ההסתברות המצטברת
Binomial distribution cdf.png
מאפיינים
פרמטרים p – ההסתברות ל"הצלחה",
n – מספר ההטלות
תומך הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k\in \{0,1,2...,n\}}
פונקציית הסתברות
(pmf)
פונקציית ההסתברות המצטברת
(cdf)
הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor, 1+\lfloor k\rfloor) \!}
תוחלת הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle np}
סטיית תקן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{np(1-p)}}
חציון הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{\lfloor np\rfloor-1, \lfloor np\rfloor, \lfloor np\rfloor+1\}}
ערך שכיח
שונות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle np(1-p)}
אנטרופיה
פונקציה יוצרת מומנטים
(mgf)
הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1-p + pe^{t})^n \!}
פונקציה אופיינית
צידוד
גבנוניות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}\!}

התפלגות בינומית היא התפלגות בדידה, המתארת את מספר ההצלחות בסדרה של ניסויי ברנולי בלתי תלויים עם הסתברות הצלחה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} בכל אחד. אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} משתנה מקרי בינומי המתאים לסדרת ניסויים שכזו מסמנים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X \sim \mathrm{Bin}(n,p)} .

ההתפלגות הבינומית

ההתפלגות של משתנה בינומי היא

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_X(k) = \Pr\left(X=k\right) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}}

עבור הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k=0,1,\ldots,n} , ונהוג לסמן את ההסתברות לכישלון בניסוי בודד הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q=1-p} . הסימון הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \binom{n}{k}} מתייחס למקדם הבינומי, שממנו קיבלה ההתפלגות את שמה.

אכן, ההסתברות להצליח בדיוק פעמים בסדרה של ניסויי ברנולי עם פרמטר הצלחה שווה לסכום ההסתברויות של כל הסדרות האפשריות של תוצאות שיש בהן הצלחות ו- כישלונות. מכיוון שהניסויים בלתי תלויים, הסיכוי של סדרה מסוימת (כגון הצלחה-הצלחה-כישלון-כישלון-הצלחה) שווה למכפלה . לכן ההסתברות הכוללת שווה למספר הדרכים לבחור את הניסויים המוצלחים מתוך כלל הניסויים, שהוא המקדם הבינומי , כפול .

סכום ההסתברויות

כמו בכל התפלגות, סכום ההסתברויות לכל התוצאות האפשריות הוא 1. אפשר לסכם את ההסתברויות ישירות על ידי נוסחת הבינום: .

תוחלת ושונות

התוחלת של משתנה מקרי בינומי היא , והשונות שלו היא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle npq} .

דוגמה

מטילים פעמים מטבע בעל סיכוי ל"עץ" של . נניח שההטלות הן בלתי תלויות זו בזו. אם נסמן את מספר הפעמים בהן התקבל "עץ" ב- אז . ההסתברות לקבלת "עץ" פעמים בדיוק היא הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Pr(X=4) = \binom{7}{4} \cdot 0.6^4 \cdot 0.4^3 = 0.290304}

התפלגות בינומית שלילית

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – התפלגות בינומית שלילית

נאמר שמשתנה מקרי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X} מתפלג בינומית שלילית עם פרמטרים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (r,p)} אם

הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_X(k)=\frac{\Gamma(r+k)}{k!\cdot\Gamma(r)}p^r(1-p)^k}

כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Gamma} היא פונקציית גמא המרחיבה את מושג העצרת אל המישור המרוכב.

קשרים להתפלגויות אחרות

סכום של משתנים מקריים בינומיים

אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X \sim \mathrm{Bin}(n,p)} וכן הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y \sim \mathrm{Bin}(m,p)} הם שני משתנים מקריים בלתי תלויים, בעלי אותו פרמטר הצלחה הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} אז הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X+Y \sim \mathrm{Bin}(n+m,p)} , זאת אומרת סכומם של המשתנים המקריים גם כן מתפלג בינומי.

התפלגות ברנולי

התפלגות ברנולי היא מקרה פרטי של התפלגות בינומית כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X \sim \mathrm{Bin}(1,p)} ונהוג לסמן . למעשה, ניתן לראות בכל התפלגות בינומית כסכום של הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} התפלגויות ברנולי שלכולן אותה הסתברות הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} .

קירוב על ידי התפלגות פואסון

ניתן למצוא קירוב להתפלגות הבינומית עבור ערכי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} גדולים מאוד וערכי הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p} קטנים מאוד על ידי שימוש בהתפלגות פואסון עם פרמטר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda = np} . באופן פורמלי, אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{X_n\}_{n=1}^\infty} סדרת משתנים מקריים המתפלגים הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X_n \sim \mathrm{Bin}\left(n,\frac{\lambda}{n}\right)} אז הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lim_{n \to \infty} \Pr(X=k) = \Pr(Y=k)} כאשר הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Y \sim \mathrm{Pois}(\lambda)} .

קירוב על ידי התפלגות נורמלית

אם הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} גדול מספיק חוסר הסימטריה שבהתפלגות לא יהיה גדול, במקרה זה נוכל לקרב את ההתפלגות הבינומית על ידי ההתפלגות הנורמלית הפענוח נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle X \sim N(np,np(1-p))} . כשמשתמשים בהתפלגות הנורמלית על מנת לקרב התפלגות בינומית, נהוג להשתמש בתיקון רציפות על מנת לשפר את איכות הקירוב.

התפלגויות קשורות

עם החזרה בלי החזרה
מספר הצלחות מתוך מספר הוצאות התפלגות בינומית התפלגות היפרגאומטרית
מספר הוצאות עד מספר הצלחות התפלגות בינומית שלילית התפלגות היפרגאומטרית שלילית

ראו גם

קישורים חיצוניים


סמל המכלול גמרא 2.PNG
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0