תת-אלגברת קרטן

תת-אלגברת קרטן (Cartan subalgebra) של אלגברת לי היא תת-אלגברה נילפוטנטית השווה למנרמל של עצמה. לתת-אלגברת קרטן מספר הגדרות שקולות המערבות מספר מושגים יסודיים באלגבראות לי. השימוש המרכזי שלהן הוא שבעזרתן ניתן לפרק הצגות של אלגבראות לי פשוטות למחצה לסכום ישר של מרחבים ממושקלים.

המונח נקרא על שם המתמטיקאי אלי קרטן.

הגדרה

תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{g}} אלגברת לי, ותהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{h} \le \mathfrak{g}} תת-אלגברה שלה. המנרמל של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{h}} ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{g}} הוא

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N_{\mathfrak{g}}(\mathfrak{h}):=\{y \in \mathfrak{g} \mid \forall x \in \mathfrak{h}: [x,y] \in \mathfrak{h}\}} .

זוהי תת-האלגברה המקסימלית שבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle } היא אידיאל.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{h}} נקראת תת-אלגברת קרטן של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{g}} אם היא נילפוטנטית השווה למנרמל שלה: ${\mathfrak {h}}=N_{\mathfrak {g}}({\mathfrak {h}})$.

תת-אלגברה כזו קיימת עבור אלגברה סוף ממדית מעל שדה אינסופי.

דוגמאות

• אם האלגברה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{g}} היא נילפוטנטית, אז תת-אלגברת קרטן שלה היא עצמה, ורק היא.
• תת-אלגברת קרטן של האלגברה הליניארית הכללית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{gl}_n(\mathbb{F})} היא האלגברה של המטריצות האלכסוניות, וממדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} .
• בדומה, תת-אלגברת קרטן של האלגברה הליניארית המיוחדת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{sl}_n(\mathbb{F})} היא האלגברה של המטריצות האלכסוניות, וממדה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n-1} .
• תת-אלגברת קרטן של האלגברה האורתוגונלית המיוחדת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle o_n(F)} עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} זוגי, היא תת-האלגברה שמכילה מטריצות מהצורה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{bmatrix} \begin{matrix}0 & \lambda_1\\ -\lambda_1 & 0\end{matrix} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \begin{matrix}0 & \lambda_2\\ -\lambda_2 & 0\end{matrix} & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \begin{matrix}0 & \lambda_r\\ -\lambda_r & 0\end{matrix} \\ \end{bmatrix}}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda_i \in F} , ומספר הבלוקים הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r=\frac{n}{2}} . אם $n$ אי-זוגי מוסיפים שורה ועמודה של אפסים בסוף, ומתקבלת תת-אלגברת קרטן במקרה האי-זוגי.

תכונות

כל תת-אלגברת קרטן היא תת-אלגברה נילפוטנטית מקסימלית. מעל שדה סגור אלגברית, כל תת-אלגברת קרטן היא גם אבלית מקסימלית.

כל תת-אלגברה הצמודה לתת-אלגברת קרטן, גם היא תת-אלגברת קרטן. מעל שדה סגור אלגברית ממאפיין אפס, לכל אלגברת לי סוף ממדית קיימת תת-אלגברת קרטן, ויותר מכך - כל תת-אלגבראות הקרטן של האלגברה צמודות, ובפרט איזומורפיות. הטענה איננה נכונה מעל שדה לא סגור אלגברית - למשל, ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{sl}_2(\mathbb{R})} יש שתי תת-אלגבראות קרטן לא צמודות.

בכל אלגברת לי ליניארית מעל שדה סגור אלגברית, כל תת-אלגברת קרטן היא אלגברה טורלית מקסימלית (Toral) - זוהי אלגברה שבה כל האיברים הם לסכינים; היא מקסימלית ביחס לתכונה זו. במקרה הכללי ייתכנו אלגבראות לי טורליות נוספות שאינן קרטן, אך כאשר האלגברה היא פשוטה למחצה ולשדה יש מאפיין אפס, אז גם ההפך נכון - כל אלגברה טורלית מקסימלית היא קרטן.

עבור אלגברת לי פשוטה למחצה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{g}} (סוף ממדית, מעל שדה סגור אלגברית ממאפיין אפס), איברי תת-אלגברת קרטן הם תמיד פשוטים למחצה. יותר מכך, בהינתן כל הצגה (או בשקילות, מודול) של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{g}} כנ"ל, ניתן להיעזר בפעולה של הקרטן כדי לכתוב את המודול בתור סכום ישר של מודולים ממשוקלים, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_\lambda = \{v \in M \mid \forall h \in \mathfrak{h}:h \cdot v = \lambda(h)v\}} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda \in \mathfrak{h}^*} . מודול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} המתפרק לסכום של מרחבים ממושקלים נקרא מודול ממשוקל. מקרה פרטי וחשוב של בנייה זו הוא כאשר מדובר בהצגה הצמודה של האלגברה, ואז מתקבל פירוק קרטן שלה. זוהי בנייה בסיסית וחשובה המובילה להגדרות כלליות יותר, כמו זו של הקטגוריה O.

איברים רגולריים

מעל שדה סגור אלגברית, ניתן לתת תיאור מפורש לתת-אלגברת קרטן מסוימת.

לצורך כך, נסמן את הפולינום אופייני של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x \in \mathfrak{g}} בתור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(t)= \sum{a_i(x) t^n}} . נגדיר את הדרגה של האלגברה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \deg{g}} בתור המספר הנמוך ביותר $i$ כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_i(x)} איננו אפס זהותית. איבר רגולרי של האלגברה הוא איבר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} שעבורו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{\deg{\mathfrak{g}}}(x) \neq 0} ; איבר כזה תמיד קיים כששדה הבסיס הוא אינסופי.

כעת, אם נגדיר את המרחב העצמי המוכלל של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda \in F} בתור

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{g}^\lambda_x := \{y \in \mathfrak{g} \mid \exists n: (\operatorname{ad}_x-\lambda I)^n (y) = 0\}}

נקבל כי לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\in \mathfrak{g}} , האלגברה היא אלגברה מדורגת מעל המרחבים הנ"ל: מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [\mathfrak{g}^\lambda_x,\mathfrak{g}^\mu_x] \subseteq \mathfrak{g}^{\lambda+\mu}_x} ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{g} = \oplus_{\lambda \in F} {\mathfrak{g}^\lambda_x}} .

משפט: תת-אלגברת קרטן של אלגברת לי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathfrak{g}} מעל שדה סגור אלגברית ממאפיין אפס היא תת-האלגברה הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\mathfrak {g}}_{x}^{0}} . לתת-אלגברת קרטן זו ממד השווה לדרגה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \deg{g}} .

ראו גם

• תת-חבורת קרטן
• אלגברת אנגל

לקריאה נוספת

• Cartan subalgebra, Victor Kac.
• Cartan subalgebras.

קישורים חיצוניים

• תת-אלגברת קרטן, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

תת-אלגברת קרטן36774094