תת-אלגברת קרטן

תת-אלגברת קרטן (Cartan subalgebra) של אלגברת לי היא תת-אלגברה נילפוטנטית השווה למנרמל של עצמה. לתת-אלגברת קרטן מספר הגדרות שקולות המערבות מספר מושגים יסודיים באלגבראות לי. השימוש המרכזי שלהן הוא שבעזרתן ניתן לפרק הצגות של אלגבראות לי פשוטות למחצה לסכום ישר של מרחבים ממושקלים.

המונח נקרא על שם המתמטיקאי אלי קרטן.

הגדרה

תהי ${\mathfrak {g}}$ אלגברת לי, ותהי ${\mathfrak {h}}\leq {\mathfrak {g}}$ תת-אלגברה שלה. המנרמל של ${\mathfrak {h}}$ ב-${\mathfrak {g}}$ הוא

$N_{\mathfrak {g}}({\mathfrak {h}}):=\{y\in {\mathfrak {g}}\mid \forall x\in {\mathfrak {h}}:[x,y]\in {\mathfrak {h}}\}$.

זוהי תת-האלגברה המקסימלית שבה היא אידאל.

${\mathfrak {h}}$ נקראת תת-אלגברת קרטן של ${\mathfrak {g}}$ אם היא נילפוטנטית השווה למנרמל שלה: ${\mathfrak {h}}=N_{\mathfrak {g}}({\mathfrak {h}})$.

תת-אלגברה כזו קיימת עבור אלגברה סוף ממדית מעל שדה אינסופי.

דוגמאות

• אם האלגברה ${\mathfrak {g}}$ היא נילפוטנטית, אז תת-אלגברת קרטן שלה היא עצמה, ורק היא.
• תת-אלגברת קרטן של האלגברה הלינארית הכללית ${\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {F} )$ היא האלגברה של המטריצות האלכסוניות, וממדה $n$.
• בדומה, תת-אלגברת קרטן של האלגברה הלינארית המיוחדת ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {F} )$ היא האלגברה של המטריצות האלכסוניות, וממדה $n-1$.
• תת-אלגברת קרטן של האלגברה האורתוגונלית המיוחדת $o_{n}(F)$ עבור $n$ זוגי, היא תת-האלגברה שמכילה מטריצות מהצורה:

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}0&\lambda _{1}\\-\lambda _{1}&0\end{matrix}}&0&\cdots &0\\0&{\begin{matrix}0&\lambda _{2}\\-\lambda _{2}&0\end{matrix}}&&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &{\begin{matrix}0&\lambda _{r}\\-\lambda _{r}&0\end{matrix}}\\\end{bmatrix}}$

כאשר $\lambda _{i}\in F$, ומספר הבלוקים הוא $r={\frac {n}{2}}$. אם $n$ אי-זוגי מוסיפים שורה ועמודה של אפסים בסוף, ומתקבלת תת-אלגברת קרטן במקרה האי-זוגי.

תכונות

כל תת-אלגברת קרטן היא תת-אלגברה נילפוטנטית מקסימלית. מעל שדה סגור אלגברית, כל תת-אלגברת קרטן היא גם אבלית מקסימלית.

כל תת-אלגברה הצמודה לתת-אלגברת קרטן, גם היא תת-אלגברת קרטן. מעל שדה סגור אלגברית ממאפיין אפס, לכל אלגברת לי סוף ממדית קיימת תת-אלגברת קרטן, ויותר מכך - כל תת-אלגבראות הקרטן של האלגברה צמודות, ובפרט איזומורפיות. הטענה איננה נכונה מעל שדה לא סגור אלגברית - למשל, ל-${\mathfrak {sl}}_{2}(\mathbb {R} )$ יש שתי תת-אלגבראות קרטן לא צמודות.

בכל אלגברת לי לינארית מעל שדה סגור אלגברית, כל תת-אלגברת קרטן היא אלגברה טורלית מקסימלית (Toral) - זוהי אלגברה שבה כל האיברים הם לסכינים; היא מקסימלית ביחס לתכונה זו. במקרה הכללי ייתכנו אלגבראות לי טורליות נוספות שאינן קרטן, אך כאשר האלגברה היא פשוטה למחצה ולשדה יש מאפיין אפס, אז גם ההפך נכון - כל אלגברה טורלית מקסימלית היא קרטן.

עבור אלגברת לי פשוטה למחצה ${\mathfrak {g}}$ (סוף ממדית, מעל שדה סגור אלגברית ממאפיין אפס), איברי תת-אלגברת קרטן הם תמיד פשוטים למחצה. יותר מכך, בהינתן כל הצגה (או בשקילות, מודול) של ${\mathfrak {g}}$ כנ"ל, ניתן להיעזר בפעולה של הקרטן כדי לכתוב את המודול בתור סכום ישר של מודולים ממשוקלים, $M_{\lambda }=\{v\in M\mid \forall h\in {\mathfrak {h}}:h\cdot v=\lambda (h)v\}$ כאשר $\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}$. מודול $M$ המתפרק לסכום של מרחבים ממושקלים נקרא מודול ממשוקל. מקרה פרטי וחשוב של בנייה זו הוא כאשר מדובר בהצגה הצמודה של האלגברה, ואז מתקבל פירוק קרטן שלה. זוהי בנייה בסיסית וחשובה המובילה להגדרות כלליות יותר, כמו זו של הקטגוריה O.

איברים רגולריים

מעל שדה סגור אלגברית, ניתן לתת תיאור מפורש לתת-אלגברת קרטן מסוימת.

לצורך כך, נסמן את הפולינום אופייני של $x\in {\mathfrak {g}}$ בתור $P(t)=\sum {a_{i}(x)t^{n}}$. נגדיר את הדרגה של האלגברה $\deg {g}$ בתור המספר הנמוך ביותר $i$ כך ש-$a_{i}(x)$ איננו אפס זהותית. איבר רגולרי של האלגברה הוא איבר $x$ שעבורו $a_{\deg {\mathfrak {g}}}(x)\neq 0$; איבר כזה תמיד קיים כששדה הבסיס הוא אינסופי.

כעת, אם נגדיר את המרחב העצמי המוכלל של $\lambda \in F$ בתור

${\mathfrak {g}}_{x}^{\lambda }:=\{y\in {\mathfrak {g}}\mid \exists n:(\operatorname {ad} _{x}-\lambda I)^{n}(y)=0\}$

נקבל כי לכל $x\in {\mathfrak {g}}$, האלגברה היא אלגברה מדורגת מעל המרחבים הנ"ל: מתקיים $[{\mathfrak {g}}_{x}^{\lambda },{\mathfrak {g}}_{x}^{\mu }]\subseteq {\mathfrak {g}}_{x}^{\lambda +\mu }$ ו- ${\mathfrak {g}}=\oplus _{\lambda \in F}{{\mathfrak {g}}_{x}^{\lambda }}$.

משפט: תת-אלגברת קרטן של אלגברת לי ${\mathfrak {g}}$ מעל שדה סגור אלגברית ממאפיין אפס היא תת-האלגברה ${\mathfrak {g}}_{x}^{0}$. לתת-אלגברת קרטן זו ממד השווה לדרגה $\deg {g}$.

ראו גם

• תת-חבורת קרטן
• אלגברת אנגל

לקריאה נוספת

• Cartan subalgebra, Victor Kac.
• Cartan subalgebras.