תת-חבורת פרטיני

בתורת החבורות, תת-חבורת פרטיני של חבורה נתונה שווה לחיתוך כל תת-החבורות המקסימליות של החבורה. תת-חבורת פרטיני של כל חבורה סופית היא נילפוטנטית. מקובל לסמן את תת-חבורת פרטיני של G ב-$\ \Phi (G)$ או ב-$\ \operatorname {Fr} (G)$.

איברים לא-יוצרים

תת-חבורת פרטיני כוללת בדיוק את האברים הלא-יוצרים של G (איבר הוא לא-יוצר אם גריעתו מקבוצה היוצרת את החבורה מותירה קבוצה יוצרת), ובכך היא דומה לרדיקל ג'ייקובסון מתורת החוגים. בדומה ללמה של נקיאמה, אם $\ \Phi (G)$ נוצרת סופית אז $\ \Phi (G)H\neq G$ לכל תת-חבורה אמיתית H של G.

$\ \Phi (G)=G$ רק אם אין לחבורה תת-חבורות מקסימליות (לא טריוויאליות). כש-G אבלית, זה קורה אם ורק אם G חליקה. בכל מקרה, כאשר G אבלית, $\ \Phi (G)=\cap _{p}G^{p}$.

חבורות-p

תת-חבורת פרטיני של חבורת-p‏ P היא תת-החבורה הנוצרת על ידי הקומוטטורים וכל חזקות-p של אברי החבורה. לכן, אם P סופית, אז המנה $\ P/\Phi (P)$ היא מהצורה $\ (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{d}$ עבור d מתאים. במקרה זה, אפשר ליצור את החבורה על ידי d אברים, אבל לא פחות. את מספר היחסים בהצגה לפי יוצרים ויחסים אפשר לקרוא מחבורת ההומולוגיה השנייה $\ H_{2}(P,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )$: גם זו חבורת-p אבלית אלמנטרית, שהדרגה שלה היא מספר היחסים המינימלי בהצגה של החבורה. משערים שתמיד יש לחבורה הצגה עם d יוצרים ו-r יחסים.

נילפוטנטיות

אם $\ \Phi (G)$ חבורת-M (חבורה שיש לה סדרה נורמלית שבה כל המנות האינסופיות הן ציקליות; בפרט, אם היא סופית), אז היא נילפוטנטית. גם תת-חבורת פרטיני של כל חבורה לינארית נוצרת סופית היא נילפוטנטית.

הכלת הקומוטטורים

לכל חבורה G, חיתוך המרכז עם תת-חבורת הקומוטטורים $\ G'$ מוכל ב-$\ \Phi (G)$. לעומת זאת, $\ G'\subseteq \Phi (G)$ אם ורק אם כל תת-החבורות המקסימליות של G הן נורמליות. התנאי הזה מתקיים אם G חבורה נילפוטנטית; גם להיפך: אם $\ G$ היא חבורת-M והיא נילפוטנטית, אז $\ G'\subseteq \Phi (G)$.