פולינום ציקלוטומי

בתורת השדות, פולינום ציקלוטומי הוא פולינום מינימלי של שורש יחידה מעל שדה המספרים הרציונליים. לכל מספר שלם n מתאים פולינום ציקלוטומי יחיד, ${\mathrm{\Phi }}_n$, שהוא פולינום מתוקן בעל מקדמים שלמים, והוא הפולינום המינימלי של כל השורשים הפרימיטיביים מסדר n. כלומר: ${\mathrm{\Phi }}_n(X)=\prod _{\omega }(X-\omega )$, כאשר $\omega$ עובר על כל השורשים הפרימיטיביים מסדר n.

הפולינומים הציקלוטומים הראשונים הם: ${\mathrm{\Phi }}_1(x)=x-1,{\mathrm{\Phi }}_2(x)=x+1,{\mathrm{\Phi }}_3(x)=x^2+x+1,{\mathrm{\Phi }}_4(x)=x^2+1,{\mathrm{\Phi }}_5(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$. באופן כללי, אם p הוא מספר ראשוני, אז כל השורשים ה-p-ים של 1 הם פרמיטיביים, ו- ${\mathrm{\Phi }}_p(x)=\frac{x^p-1}{x-1}=\sum _{k=0}^{p-1}{x}^k$

כל שורש n-י של 1 הוא שורש d פרימיטיבי של 1 עבור מחלק אחד בדיוק של n, ולכן, אם מכפילים את הפולינומים הציקלוטומיים, מתקבל $x^n-1=\prod _{d\mid n}{\mathrm{\Phi }}_d(x)$. מכאן מתקבלת הנוסחה הרקורסיבית ${\mathrm{\Phi }}_n(x)=\frac{x^n-1}{\prod _{d|n,d<n}{\mathrm{\Phi }}_d(x)}$.

הפולינום הציקלוטומי הראשון שיש לו מקדם שאינו 0, 1 או 1- הוא ${\mathrm{\Phi }}_{105}$ (זה נובע מכך ש-105 הוא המספר הקטן ביותר שהוא מכפלה של שלושה ראשוניים אי-זוגיים שונים); עם זאת, לכל k יש אינסוף ערכים של n שעבורם יש לפולינום הציקלוטומי ה-n-י מקדם הגדול בערכו המוחלט מ- $n^k$ .

כאשר מרחיבים את $\mathbb{\mathbb{Q}}$ בעזרת שורש היחידה הפרימיטיבי ${\rho }_n$, מתקבל השדה הציקלוטומי מסדר n, $\mathbb{\mathbb{Q}}[{\rho }_n]$. השדה הזה מכיל את כל שורשי היחידה מסדר n, והוא שדה הפיצול של ${\mathrm{\Phi }}_n(x)$ מעל $\mathbb{\mathbb{Q}}$. הרחבת השדות $\mathbb{\mathbb{Q}}[{\rho }_n]/\mathbb{\mathbb{Q}}$ היא מדרגה $\varphi (n)$, וחבורת גלואה שלה היא חבורת אוילר מסדר n.