הצמדה (תורת החבורות)

בתורת החבורות, הצמדה היא סוג של פעולה של חבורה על עצמה. הצמדה של $a$ באמצעות $b$ היא הפעולה $a\mapsto ba{b}^{-1}$. הצמדה מהווה אוטומורפיזם פנימי של החבורה על עצמה. פעולת ההצמדה מסומנת גם בצורות הבאות:

${\mathrm{Inn}}_b(a)={\mathrm{inn}}_b(a)={\mathrm{Int}}_b(a)={\mathrm{int}}_b(a)={}^{b}a=ba{b}^{-1}$

איברים צמודים ומחלקת צמידות

נאמר על שני איברים $a$ ו-$b$ בחבורה $G$ שהם איברים צמודים אם קיים $g\in G$ כך שמתקיים:

$a=gb{g}^{-1}$

יחס הצמידות בין איברים הוא יחס שקילות:

• רפלקסיביות - כל איבר צמוד לעצמו מכיוון שמתקיים:

$a=ea{e}^{-1}$ ($e$ איבר היחידה בחבורה).

• סימטריות - אם $a=gb{g}^{-1}$ אז:

$(g^{-1})a(g^{-1}{)}^{-1}=g^{-1}(gb{g}^{-1})g=b$.

• טרנזיטיביות - אם $a=gb{g}^{-1}$ ו-$b=hc{h}^{-1}$ אז:

$a=gb{g}^{-1}=g(hc{h}^{-1})g^{-1}=(gh)c(gh{)}^{-1}$

אוסף האיברים בחבורה שצמודים לאיבר נתון $a$ נקראת מחלקת הצמידות של $a$. מכיוון שצמידות היא יחס שקילות, כל מחלקת צמידות היא מחלקת שקילות – כל איבר בחבורה נמצא במחלקת צמידות אחת בדיוק.

דוגמאות

• יחס הדמיון בין מטריצות הוא למעשה יחס הצמידות. שתי מטריצות שונות הן צמודות אם ורק אם הן מייצגות את אותה העתקה לינארית בבסיסים שונים.
• שתי תמורות הן צמודות אם יש להן אותו מבנה מחזורים. כלומר אם לכל מחזור בפירוק של תמורה אחת מתאים מחזור באותו האורך בפירוק של התמורה האחרת.

תכונות

• פעולת ההצמדה מתחלפת עם פעולת הכפל: $(ga{g}^{-1})(gb{g}^{-1})=g(ab)g^{-1}$. במילים אחרות הפונקציה $x\mapsto bx{b}^{-1}$ היא אוטומורפיזם. אוטומורפיזם מהצורה הזו נקרא אוטומורפיזם פנימי (ראו חבורת האוטומורפיזמים). מתכונה זו נובע בין השאר:
  • אם $a,b$ צמודים, אז גם $a^n,b^n$ צמודים.
  • לאיברים צמודים יש את אותו הסדר.
• כל איבר במרכז של חבורה צמוד רק לעצמו ($ga{g}^{-1}=g{g}^{-1}a=a$). בפרט, איבר היחידה צמוד רק לעצמו, ובחבורה אבלית כל מחלקות הצמידות הן יחידונים.
• מספר האיברים שצמודים לאיבר נתון הוא האינדקס של המְרַכֵּז של האיבר (חבורת האיברים שמתחלפים עם האיבר). שוויון זה מוביל למשוואת המחלקות בחבורה סופית:

$|G|=|Z(G)|+\sum _{g\in I}[G:C(g)]$

כאשר $Z(G)$ הוא המרכז של G, $C(g)$ הוא המְרַכֵּז של $g$ ו-I היא קבוצת נציגים של מחלקות הצמידות ב-G של איברים שאינם ב-$Z(G)$.