השערת קתה

השערת קֶתֶה היא השערה מפורסמת בתורת החוגים העוסקת באידאלים ניליים. את ההשערה העלה המתמטיקאי האוסטרי גוטפריד קתה (Gottfried Köthe‏; 1989-1905) ב-1930; אף על פי שהיא פתורה בכמה מקרים חשובים, ההשערה עדיין פתוחה באופן כללי.

השערת קתה

תכונות של חוג R ושל חוג הפולינומים מעליו (ראו הסבר בגוף הטקסט).

השערת קתה שואלת האם בכל חוג (אסוציאטיבי):

• האידאל הדו-צדדי הנוצר על ידי אידאל שמאלי נילי, הוא בעצמו נילי.

השערה זו שקולה לכל אחת מההשערות הבאות:

• הסכום של שני אידאלים שמאליים ניליים הוא נילי.
• אם בחוג אין אידאל נילי (דו-צדדי), אז אין בו אידאל נילי חד-צדדי.
• לכל חוג R מתקיים $N(R)=\bar{N}(R)$, כאשר $N(R)$ הוא סכום האידאלים הניליים (=הרדיקל הנילי העליון) ו-$\bar{N}(R)$ הוא סכום האידאלים השמאליים הניליים (=רדיקל קתה).
• לכל חוג נילי, גם חוג המטריצות ${\mathrm{M}}_2(R)$ נילי.
• לכל חוג נילי R, חוג הפולינומים $R[x]$ קוואזי-הפיך (כלומר שווה לרדיקל ג'ייקובסון של עצמו; ידוע שחוג הפולינומים של חוג נילי שווה לרדיקל בראון-מק'קוי של עצמו).
• אם $\mathrm{J}(R[x])=0$ אז $\bar{N}(R)=0$.
• אם R חוג נילי אז $R[x]$ איננו פרימיטיבי.

השקילות לניסוח האחרון נובעת ממשפט של Smoktunowicz, לפיו אידאלים פרימיטיביים בחוגי פולינומים מעל חוגים ניליים הם הומוגניים. עם זאת, יצוין כי קיים חוג R השווה לרדיקל ג'ייקובסון של עצמו, אך חוג הפולינומים מעליו פרימיטיבי. בדיאגרמה משמאל, השערת קתה (בגרסה "אם R נילי אז חוג הפולינומים מעליו נילי"), עם תוצאות קרובות. הרדיקלים המופיעים בדיאגרמה הם הרדיקל של ג'ייקובסון, רדיקל Behrnes השווה לחיתוך הגרעינים של הומומורפיזמים לחוגים עם אידמפוטנט, ורדיקל בראון-מקוי. החץ בירוק: השערת קתה. החצים המרוסקים מתארים גרירות טריוויאליות. החצים בכחול, משפטים (מלמעלה למטה: תוצאות של עמיצור, של Beidar-Fong-Puczylowsi 2001 ושל A.Smoktunowicz 1999). החצים באדום: גרירות שאינן נכונות (הבניה של חוג נילי שחוג הפולינומים מעליו אינו נילי היא של A.Smoktunowicz 2000).

הגרסה הלא-אסוציאטיבית של השערת קתה אינה נכונה: באלגברה הלא-אסוציאטיבית הנוצרת על ידי שני אברים x,y תחת היחסים: xy=y,yx=x,x^2=y^2=0, האברים x ו- y יוצרים אידאלים שמאליים ניליים, אך סכומם אינו נילי.

מקרים שבהם ההשערה מתקיימת

השערת קתה מתקיימת בחוג R אם לכל אידאל נילי שמאלי L, האידאל הדו-צדדי L+LR הוא נילי. השערת קתה מתקיימת בחוגים מהמהחלקות הבאות:

• בחוגים נתריים (לפי משפט לויצקי: בחוג נתרי, כל אידאל חד-צדדי נילי הוא נילפוטנטי).
• בכל חוג עם זהויות $\bar{N}(R)={\mathrm{Nil}}_{*}(R)$ (בחוג עם זהויות הנוצר סופית מעל חוג קומוטטיבי נתרי, אפילו $\mathrm{Jac}(R)={\mathrm{Nil}}_{*}(R)$, משפט Razmyslov-Kemer-Braun).
• בחוגים שבהם רדיקל ג'ייקובסון נילי (משום שכל אידאל שמאלי נילי מוכל ברדיקל ג'ייקובסון). תכונה זו מתקיימת במקרים הבאים (שאת כולם הוכיח עמיצור):
  • באלגברה אלגברית מעל שדה;
  • באלגברה R שממדה מעל F קטן ממש מהעוצמה של F;
  • בחוג $R[x]$ אם R היא אלגברה מעל שדה שאינו בן-מניה (בהקשר זה ראוי לציין שמעל כל שדה בן-בניה, יש אלגברה נילית R כך ש-$\mathrm{J}(R[x])=R[x]$ אינו נילי; Smoktunowitcz, 2000).
• באלגברה מונומיאלית נוצרת סופית (משום שרדיקל ג'ייקובסון הוא נילפוטנטי מקומית, Beidar and Fong, 1998).

לפי משפט של עמיצור, רדיקל ג'ייקובסון של כל חוג $R[x]$ הוא מהצורה $I[x]$ כאשר I אידאל נילי. מכאן שאם R הוא חוג שאין בו אידאלים ניליים, אז $\mathrm{J}(R[x])=0$.

מקורות

• On some results related to Koethe's conjecture, A. Smoktunowicz, Serdica Math J 27 (2000), 159--170.
• The Concise Handbook of Algebra, C.18.
• A. Smoktunoicz, Primitive Ideals in Polynomial Rings over Nil Rings. Algebras and Representation Theory, March 2005, Volume 8, Issue 1, pp 69-73