חבורה סדורה

חבורה אבלית סדורה היא חבורה אבלית שמוגדר עליה יחס סדר לינארי, באופן כזה שאם $a\le b$ אז גם $a+c\le b+c$. כל חבורה סדורה היא חבורה חסרת פיתול, וכל חבורה אבלית חסרת פיתול אפשר לסדר.

הדרגה

תהי $\mathrm{\Gamma }$ חבורה סדורה. תת-חבורה $\mathrm{\Delta }\le \mathrm{\Gamma }$ היא קמורה אם לכל $0<\gamma <\delta \in \mathrm{\Delta }$ מתקיים $\gamma \in \mathrm{\Delta }$. אם $\mathrm{\Delta }\le \mathrm{\Gamma }$ תת-חבורה קמורה, על המנה $\mathrm{\Gamma }/\mathrm{\Delta }$ מושרה יחס סדר, ההופך גם אותה לחבורה סדורה. אוסף תת-החבורות הקמורות מהווה שרשרת, שגובהה הוא הדרגה $\mathrm{rank}(\mathrm{\Gamma })$. ממילא, $\mathrm{rank}(\mathrm{\Gamma })=\mathrm{rank}(\mathrm{\Delta })+\mathrm{rank}(\mathrm{\Gamma }/\mathrm{\Delta })$.

בחבורה הסדורה $\mathbb{\mathbb{Z}}$ שרשרת תת-החבורות הקמורות היא $0\subset \mathbb{\mathbb{Z}}$, ודרגתה היא 1. לחבורה אבלית סדורה יש דרגה 1 אם ורק אם ניתן לשכן אותה בחבורה החיבורית של שדה המספרים הממשיים. באופן כללי יותר, כל חבורה אבלית סדורה מדרגה n אפשר לשכן ב-${\mathbb{ℝ}}^n$ עם הסדר הלקסיקוגרפי. חבורה סדורה היא דיסקרטית אם יש לה שיכון דיסקרטי ב-${\mathbb{ℝ}}^n$ (עם הטופולוגיה הסטנדרטית); החבורות הדיסקרטיות היחידות הן מהצורה ${\mathbb{\mathbb{Z}}}^n$ (עם הסדר הלקסיקוגרפי). מכאן מתקבלת דיכוטומיה: חבורה אבלית סדורה היא או תת-חבורה של $\mathbb{ℝ}$, או שהיא מכילה עותק של ${\mathbb{\mathbb{Z}}}^2$ (עם הסדר הלקסיקוגרפי).

החבורה האבלית $\mathbb{\mathbb{Q}}{\otimes }_{\mathbb{\mathbb{Z}}}\mathrm{\Gamma }$, שגם היא סדורה, נקראת הסגור החילוקי (divisible hull) של $\mathrm{\Gamma }$. הדרגה של הסגור החילוקי שווה לזו של החבורה המקורית.