חבורה שלמה

בתורת החבורות, חבורה שלמה היא חבורה שהמרכז שלה טריוויאלי, וכל אוטומורפיזם שלה הוא פנימי, כלומר, מן הצורה ${\gamma }_g:x\mapsto gx{g}^{-1}$ עבור איבר קבוע g בחבורה. אם G היא חבורה כזו, אז יש איזומורפיזם טבעי מ- G לחבורת האוטומורפיזמים שלה, $\mathrm{Aut}(G)$, המוגדר לפי $g\mapsto {\gamma }_g$.

לדוגמה, החבורות הסימטריות $S_n$ הן שלמות לכל $n\ne 2,6$. אם S חבורה פשוטה לא אבלית סופית, אז $A=\mathrm{Aut}(S)$ שלמה, כלומר $\mathrm{Aut}(\mathrm{Aut}(S))\cong \mathrm{Aut}(S)$.

התכונה החשובה ביותר של חבורות שלמות כרוכה בהתנהגות שלהן כתת-חבורות נורמליות בחבורות אחרות. אם K תת חבורה נורמלית של G, ו- K שלמה, אז K היא מרכיב ישר של G, כלומר, קיים פירוק של G כמכפלה ישרה $G\cong K\times H$. גם ההיפך נכון: אם חבורה K אינה יכולה להופיע כתת-חבורה נורמלית של חבורה G בלי להיות מרכיב ישר שלה, אז היא שלמה.

ראו גם

• חבורת האוטומורפיזמים