מחלקה (תורת החבורות)

בתורת החבורות, מחלקה או קוֹסֵט (coset) של תת-חבורה $H$ היא קבוצה של איברי חבורה $G$ המכילה את $H$, אשר מתקבלים מהכפלת אברי $H$ באיבר קבוע של החבורה. אוסף המחלקות של תת-חבורה $H$ מהווה חלוקה של $G$ לקבוצות שוות בעוצמתן. מספר המחלקות הימניות (או השמאליות) של תת-חבורה H בחבורה G נקרא האינדקס של H ב G, ומסומן $[G:H]$. אם G סופית, אינדקס זה שווה ל-$[G:H]=\frac{|G|}{|H|}$.

הגדרה פורמלית

תהא $G$ חבורה ותהא $H\subseteq G$ תת-חבורה שלה. יהא $g\in G$ איבר כלשהו, אז הקבוצה $gH=\{gh|h\in H\}$ תיקרא מחלקה שמאלית (או קוסט שמאלי) של $H$ ב-$G$, והקבוצה $Hg=\{hg|h\in H\}$ תיקרא מחלקה ימנית (או קוסט ימני) של $H$ ב-$G$.

תכונות

קל להוכיח כי כל שתי מחלקות (ימניות, וכל שתי מחלקות שמאליות) שונות הן זרות, כלומר: לכל תת-חבורה $H$, המחלקות (מאותו צד) של $H$ מהוות חלוקה של $G$ לקבוצות זרות.

הוכחה: אם $x\in g_{1}H\cap g_{2}H$ אז לפי הגדרה קיימים $h_1,h_2$ כך ש $x=g_1{h}_1=g_2{h}_2$ ולכן $g_1=g_2{h}_2{h}_1^{-1}$. מכיוון ש $h_2{h}_1^{-1}\in H$, נובע ש $g_1\in g_{2}H$, ולכן $g_{1}H=g_{2}H$. הוכחנו כי אם שתי מחלקות נחתכות אז הן בהכרח שוות, ולכן המחלקות של H מהוות חלוקה של G. לכן, היחס "להיות שייך לאותה מחלקה" מהווה יחס שקילות.

בנוסף, מספר האיברים בכל מחלקה של תת-חבורה $H$ שווה למספר האיברים ב-$H$. במקרה של חבורות אינסופיות, עוצמת המחלקות שווה. מכאן נובע משפט לגראנז': הסדר של כל חבורה סופית מתחלק בסדר תתי החבורות שלה.

נורמליות

אם לתת חבורה מסוימת $H$מתקיים $\mathrm{\forall }g,gH=Hg$, כלומר - המחלקות הימניות שוות למחלקות השמאליות החבורה נקראת תת חבורה נורמלית. לתת חבורות נורמליות יש חשיבות רבה בתורת החבורות, כיוון שהן מאפשרות להגדיר חבורת מנה.

דוגמה

ניקח את החבורה $(\mathbb{\mathbb{Z}},+)$, כלומר חבורת השלמים עם פעולת החיבור. $4\mathbb{\mathbb{Z}}$ היא תת-חבורה שלה - כל השלמים המתחלקים ב-4 ללא שארית. לתת חבורה זו יש בדיוק 4 מחלקות: $\{4\mathbb{\mathbb{Z}},1+4\mathbb{\mathbb{Z}},2+4\mathbb{\mathbb{Z}},3+4\mathbb{\mathbb{Z}}\}$. נציגים לדוגמה מהמחלקה $1+4\mathbb{\mathbb{Z}}$ הם 1, 5, 161, ו-3-. נציגים לדוגמה מהמחלקה $3+4\mathbb{\mathbb{Z}}$ הם 3, 23 או 7. נשים לב גם כי זוהי חבורה אבלית, ולכן המחלקות הימניות שוות למחלקות השמאליות.

קישורים חיצוניים

• .html מחלקה, באתר MathWorld (באנגלית)