אידאל פרימרי

באלגברה מופשטת, אידאל פרימרי (או אידאל קמאי) של חוג קומוטטיבי הוא אידאל, המקיים את התכונה הבאה: אם המכפלה ab שייכת לאידאל, אז או ש- a שייך לאידאל, או שחזקה כלשהי של b שייכת לאידאל. אידאל הוא ראשוני אם במקרה כזה אחד מבין a או b שייך לאידאל, ולכן כל אידאל ראשוני הוא פרימרי.

כל חזקה של אידאל מקסימלי היא פרימרית. בחוג דדקינד גם ההפך נכון: כל אידאל פרימרי שאינו אפס הוא חזקה של אידאל מקסימלי. לדוגמה, בחוג השלמים האידאלים הפרימריים הם האידאלים מהצורה $p^t\mathbb{\mathbb{Z}}$ עבור p ראשוני.

אידאל $I$ של חוג קומוטטיבי $A$ הוא פרימרי, אם בחוג המנה $A/I$ כל מחלק אפס הוא נילפוטנטי.

תכונות

• כל אידאל ראשוני הוא אידאל פרימרי.

הוכחה. זה נובע ישירות מההגדרה הבאה של ראשוניות - אם לכל $ab\in I$ או $a\in I$ או $b\in I$ אז $I$ ראשוני.

• הרדיקל של אידאל פרימרי הוא ראשוני.

הוכחה. נניח $ab\in \sqrt{Q}$, לכן $(ab{)}^n=a^n{b}^n\in Q$. מתוך הפרימריות של $Q$ יוצא ש: או $a^n\in Q$ או $(b^n{)}^m=b^{nm}\in Q$ עבור $m$ כלשהו. עכשיו, אם $a^n\in Q$ אז $a\in \sqrt{Q}$ ואם $b^{mn}\in Q$ אז $b\in \sqrt{Q}$. לכן הרדיקל ראשוני כפי שרצינו.

משפט לסקר-נתר קובע שבחוג קומוטטיבי נתרי, כל אידאל שווה לחיתוך של מספר סופי של אידאלים פרימריים. הצגה זו היא כלי בסיסי בגאומטריה אלגברית. אם האידאלים המשתתפים בחיתוך הם קו-מקסימליים (כמו שקורה למשל בחוג דדקינד), משפט השאריות הסיני מציג את חוג המנה כמכפלה ישרה של חוגים פרימריים.

פרימריות חזקה

אידאל Q הוא פרימרי בחזקה (strongly primary) אם קיים n כך שהרדיקל $\sqrt{Q}$ מקיים ${\sqrt{Q}}^n\subseteq Q$. כל אידאל פרימרי נוצר סופית הוא פרימרי בחזקה.

מקורות

• The Concise Handbook of Algebra, Chapter C.1, R. Gilmer.

ראו גם

• משפט לסקר-נתר