פונקציית הצטברות

בתורת ההסתברות, פונקציית הצטברות (Cumulative distribution function, בראשי תיבות CDF) של משתנה מקרי היא פונקציה של משתנה מקרי X, שערכיה קובעים את ההסתברות למאורעות מהצורה $X\le a$, לכל a ממשי. פונקציה זו מהווה הכללה של פונקציית הסתברות שעוסקת במשתנה מקרי בדיד, גם למשתנה מקרי רציף.

תכונות מופשטות והקשר למשתנים מקריים

אם X משתנה מקרי, הפונקציה $F_X(a)=\mathrm{Pr}(X\le a)$ מקיימת בהכרח ארבע תכונות:

1. הגבול $\underset{a\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{F}_X(a)$ שווה ל-0.
2. הגבול $\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }{F}_X(a)$ שווה ל-1.
3. הפונקציה מונוטונית עולה (במובן החלש), כלומר $F_X(a)\le F_X(b)$ לכל $a\le b$.
4. הפונקציה רציפה מימין.

ולהיפך: אם F היא פונקציה המקיימת את ארבע התכונות האלה, אפשר להגדיר ממנה משתנה מקרי. פורמלית, כדי להגדיר משתנה מקרי יש לתאר את ההסתברות לכך שהוא ישתייך לכל קבוצה A השייכת לאלגברת בורל על הממשיים. עם זאת, מכיוון שהקטעים יוצרים את האלגברה, מספיק להגדיר את ההסתברויות למאורעות $a<X<b$. ואכן, אם דורשים ש- $\mathrm{Pr}(X\le a)=F(a)$, נובע שהגבול משמאל $\underset{x\to b^{-}}{\lim }F(b)$ שווה להסתברות $\mathrm{Pr}(X<b)$. מכאן אפשר לקבל את ההסתברויות לכל המאורעות מהצורה $a<X<b$, $a<X\le b$, $a\le X<b$ ו- $a<X<b$.

בפרט נובע ש-$P(X=b)=F_X(b)-\underset{x\to b^{-}}{\lim }{F}_X(x)$, כך שהסיכוי למאורעות $X=b$ הוא אפס אם ורק אם הפונקציה F רציפה. אם הפונקציה גזירה, אפשר לתאר אותה כאינטגרל של פונקציית צפיפות f:

$F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(t)dt.$