ניתוח שונות

בסטטיסטיקה, ניתוח שונות (באנגלית: Analysis of variance,‏ ANOVA) הוא אוסף מודלים סטטיסטיים שמטרתו לנתח את ההבדלים בין קבוצת ממוצעים. אוסף המודלים פותח על ידי הסטטיסטיקאי רונלד פישר. ANOVA מרחיב את מבחן טי ליותר משתי קבוצות, ולכן מועיל במיוחד עבור השוואה בין שלושה ממוצעים או יותר למובהקות סטטיסטית.

הנחות המודל

נניח כי ישנן k קבוצות שונות שנרצה להשוות ביניהן. בכל קבוצה יש $n_i$ תצפיות, כך שהתצפית $Y_{i,j}$ היא התצפית ה-j. אזי $Y_{ij}N(\mu +{\alpha }_i,{\sigma }^2)$ כלומר לכל קבוצה תוחלת שונה. נוכל לכתוב גם כי $Y_{ij}=\mu +{\alpha }_i+{\epsilon }_{i,j};{\epsilon }_{i,j}N(0,{\sigma }^2)$

השערות המבחן יהיו:

$H_0:{\alpha }_1=..={\alpha }_k;H_1:elsewise$

התפלגות הממוצעים הינה:${\bar{Y}}_{i}N(\mu +{\alpha }_i,{\sigma }^2/n_i)\bar{Y}N((\mu +\sum _{i=1}^k{n}_i\cdot {\alpha }_i)/N,{\sigma }^2/N)$

חלוקת סכום הריבועים

נגדיר את סכומי vריבועים הבאים: עבור כל קבוצה i: $S{S}_i=\sum _{j=1}^{n_i}(y_{i,j}-{\bar{Y}}_i{)}^2$

ובהתאם נגדיר: $SSW=\sum _{i=1}^{k}S{S}_i$ (סכום הריבועים בתוך הקבוצות)

סכום הריבועים בין הקבוצות:$SSB=\sum _{i=1}^k{n}_i\cdot ({\bar{Y}}_i-\bar{Y}{)}^2$ וסה"כ סכומי הריבועים: $SST=\sum _{i=1}^k\sum _{j=1}^{n_i}(Y_{i,j}-\bar{Y}{)}^2$

מפיתוח מתמטי נגיע לקשר $SST=SSW+SSB$

מבחן F

תחת השערת האפס, $(SSB/(k-1))/(SSW/(N-k))F_{k-1,N-k}$ כאשר זוהי F זוהי התפלגות F.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.