משפט פאפוס

משפט פאפוס הוא משפט בחשבון אינפיניטסימלי הקובע כי אם נסובב צורה דו-ממדית סביב ישר מסוים, אזי נפח גוף הסיבוב מתקבל לפי הנוסחה

$V=2\pi R_{cm}A$

כאשר

• $R_{CM}$ מרחק מרכז הכובד של הצורה הדו-ממדית מן הישר.
• $A$ שטח הצורה.

באמצעות משפט זה ניתן לחשב את נפחם של גופים מורכבים על ידי הטלה שלהם למישור [XY] וסיבובם סביב אחד הצירים (או כל ציר אחר, לפי הנוחות).

דוגמה

נרצה לחשב באמצעות משפט פאפוס את נפח הגוף שיתקבל אם נסובב את האליפסה סביב הישר.

נניח כי עלינו לחשב את נפח העקומה $(x-2{)}^2+4(y-1{)}^2=1$ המסובבת סביב הישר $y=3x-1$ . זוהי למעשה טבעת בעלת חתך אליפטי.

ראשית, נרצה למצוא את שטח האליפסה $A$ , אותו נוכל למצוא על ידי הנוסחא $A=\pi ab$ כאשר $a,b$ הם אורכי הצירים בצורה הקנונית של האליפסה.

במקרה זה אורכי הצירים הם $a=1,b=0.5$ ולכן שטח האליפסה הוא $A=\frac{\pi }{2}$ .

כעת נרצה למצוא את מרכז הכובד של האליפסה. מרכז הכובד של האליפסה יהיה במרכזה, כאן בדוגמה שלנו $(2,1)$ .

נרצה למצוא כעת את מרחק האליפסה מהישר. זאת נקבל על פי נוסחת מרחק נקודה מישר עבור נקודת המרכז:

$$d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{|3x-y-1|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\frac{|3\times 2-1-1|}{\sqrt{10}}\Rightarrow d=\frac{4}{\sqrt{10}}$$

לסיום, כל שנותר לנו הוא להציב את הכל בנוסחא ולקבל:

$$V=2\pi \times \frac{\pi }{2}\times \frac{4}{\sqrt{10}}\Rightarrow V=\frac{2\sqrt{10}}{5}{\pi }^2$$

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.