עקמומיות גאודזית

בגאומטריה דיפרנציאלית, העקמומיות הגאודזית $k_g$ (באנגלית: Geodesic curvature) של עקום נתון $\gamma$ היא גודל המודד כמה רחוק העקום מלהיות מסילה גאודזית. בתוך יריעה נתונה $\overline{M}$, העקמומיות הגאודזית היא פשוט העקמומיות הרגילה של העקום הנח בה. לעומת זאת, כאשר העקום חייב להימצא בתוך תת-יריעה $M$ של $\overline{M}$ (למשל, במקרה של עקומים על גבי משטח נתון), העקמומיות הגאודזית מתייחסת לעקמומיות של $\gamma$ "הנצפית" מתוך תת היריעה $M$ והיא שונה באופן כללי מהעקמומיות הנצפית של $\gamma$ ביריעה בה היא משוכנת (כלומר ב-$\overline{M}$). העקמומיות $k$ של $\gamma$ כפי שנצפית ביריעה הגדולה יותר תלויה בשני גורמים: העקמומיות של תת היריעה $M$ בכיוון של $\gamma$ (העקמומיות הנורמלית $k_n$), שתלויה רק בכיוון של העקום, והעקמומיות של $\gamma$ הנראית מתת היריעה $M$ (העקמומיות הגאודזית $k_g$). הקשר המתמטי בין אלו הוא $k=\sqrt{k_g^2+k_n^2}$ . בפרט, לעקומים גאודזיים על $M$ יש עקמומיות גאודזית אפס (הם "ישרים"), כך ש-$k=k_n$, מה שמסביר מדוע הם נראים עקומים במרחב המקיף בו משוכנת היריעה.

מבחינה היסטורית, מושג העקמומיות הגאודזית קדם למושג היריעה, כך שקודם הוכח שהעקמומיות הגאודזית המוגדרת כ-$k_g=\sqrt{k^2-k_n^2}$ היא אכן גודל פנימי "שמור" של המשטח.

דוגמה

נניח כי $M$ היא ספירת היחידה $S^2$ במרחב אוקלידי תלת-ממדי. העקמומיות הנורמלית של $S^2$ היא זהותית אחת, ללא קשר לכיוון החתך. למעגלים גדולים יש עקמומיות $k=1$, כך שיש להם עקמומיות גיאודזית אפס, ולכן הם עקומים גאודזיים. ל-"מעגלים קטנים" בעלי רדיוס $r$ יש עקמומיות $\frac{1}{r}$ ועקמומיות גאודזית $k_g=\frac{\sqrt{1-r^2}}{r}$ . באופן כללי, בגאומטריה הלא-אוקלידית שמתקיימת על פני משטחים עקומים, עקומים בעלי עקמומיות גאודזית קבועה שונה מאפס ניתנים למידול כמעגלים.

ראו גם

• משפט גאוס-בונה

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0