מונוטוניות (פונקציית בחירה חברתית)

בתורת המשחקים, מונוטוניות היא תכונה שניתן לדרוש מפונקציית בחירה חברתית. התכונה אומרת שאם מועמד א' נבחר, ובבחירות הבאות מצבו לא הורע אצל אף בוחר, הוא ייבחר מחדש. דרישה זו נראית לכאורה תמימה והגיונית, אך משפט ארו מראה שעבור יותר משני מועמדים, אין שיטת בחירות "סבירה" שמקיימת אותה, מלבד דיקטטורה.

הגדרה פורמלית

פונקציית בחירה חברתית G, על קבוצת מועמדים A וקבוצת בוחרים N, נקראת מונוטונית,
אם לכל $a\in A$, ולכל שני וקטורי-העדפות P,Q,
שמקיימים לכל $b\in A,b\ne a$
: $\mathrm{\forall }i\in N,(a{\succ }_{P_i}b)\to (a{\succ }_{Q_i}b)$,
מתקיים $(a{⪰}_{G(P)}b)\to (a{⪰}_{G(Q)}b)$.

דוגמאות

• דיקטטורה היא מונוטונית, מכיוון שאם מועמד נבחר, זה אומר שהוא היה העדיפות הראשונה של הדיקטטור. אם מצבו לא הורע הוא נשאר מקום ראשון, ולכן שוב נבחר.
• עבור $\left|A\right|=2$, כל פונקציית בחירה חברתית היא מונוטונית, כי אם מצבו של מועמד א' לא הורע ביחס למועמד ב', גם מצבו של ב' לא השתנה, ולכן ההעדפות כלל לא השתנו.
• עבור $\left|A\right|\ge 3$, שיטת בורדה

מקיימת את תכונת הפה אחד, אך לא מקיימת את תכונת האי-תלות, למשל עבור וקטורי-ההעדפות הבאים:

בוחר	מקום ראשון	מקום שני	מקום שלישי
אברהם	a	b	c
אברהמה	b	c	a

נבחר b

בוחר	מקום ראשון	מקום שני	מקום שלישי
אברהם	a	b	c
אברהמה	b	a	c

נבחר a.

מצבו של b לא הורע, אבל a נבחר (כי האינדקס שלו קטן מזה של b).

• הדוגמה הקודמת היא מקרה פרטי של משפט ארו, שאומר שכל פונקציית בחירה חברתית, שמקיימת את תכונת הפה אחד ואת תכונת המונוטוניות, היא דיקטטורה.

ראו גם

• אי-תלות באפשרויות לא רלוונטיות
• כלל הבלרינה הרוסייה

לקריאה נוספת

• שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946