מבחן דיריכלה

במתמטיקה, מבחן דיריכלה הוא שיטת בדיקה להתכנסות טורים. הוא נקרא על שם המתמטיקאי יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה שתיארו לראשונה, ופורסם לאחר מותו, בשנת 1862 כחלק ממאמר פרי עטו.

המבחן

תהי $\{a_n\}\to 0$ סדרת מספרים ממשיים מונוטונית יורדת (כלומר $a_n\ge a_{n+1}$), ותהי $\{b_n\}$ סדרת מספרים מרוכבים.

אם לכל $N$ מתקיים $\left|\sum _{n=1}^N{b}_n\right|<M$ עבור $M>0$ , אזי הטור $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{b}_n$ מתכנס.

הוכחה

יהיו $B_n=\sum _{k=0}^n{b}_k,S_n=\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_k$ סדרות סכומים חלקיים. נקבל

$S_n=a_{n+1}{B}_n+\sum _{k=0}^n{B}_k(a_k-a_{k+1})$

מהנתון $|B_n|<M,a_n\to 0$ נקבל כי $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_{n+1}{B}_n=0$ .

$a_n$ מונוטונית יורדת, לכן $a_k-a_{k+1}\ge 0$ ולכן $|B_k(a_k-a_{k+1})|<M(a_k-a_{k+1})$ .

אולם $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=0}^{n}M(a_k-a_{k+1})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }M(a_0-a_{n+1})=M\cdot a_0$ כטור טלסקופי. לכן $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}M(a_k-a_{k+1})$ מתכנס.

כתוצאה ממבחן ההשוואה $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}|B_k(a_k-a_{k+1})|$ מתכנס.

יישומים

מקרה פרטי מיוחד מסוים של מבחן דיריכלה הוא מבחן לייבניץ המפורסם יותר, במקרה בו

$b_n=(-1{)}^n\to \left|\sum _{n=1}^N{b}_n\right|\le 1$

תוצאה נוספת הנובעת ממבחן דיריכלה היא כי $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\sin (n)$ מתכנס כאשר $\{a_n\}$ סדרה יורדת השואפת ל־0 (ההנחה שטור הסינוסים חסום הוא תוצאה ישירה של קיום חסם על הסכימה $\sum _{n=1}^N{e}^{ni}$ כש-$i$ היחידה המדומה).