משפט דיריכלה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

משפט דיריכלה (Dirichlet's theorem on arithmetic progressions) הוא משפט הקובע את הצפיפות היחסית של המספרים הראשוניים בסדרות חשבוניות. את המשפט הוכיח המתמטיקאי הגרמני יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה בשנת 1837.

עוד מימי אוקלידס ידוע שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים. הוכחות דומות לזו של אוקלידס מאפשרות להראות גם שקיימים אינסוף ראשוניים מן הצורות , וידועות גם תוצאות כלליות יותר. דיריכלה היה הראשון שהראה שבכל סדרה חשבונית שבה הדבר אפשרי (היינו, סדרה מהצורה שבה זרים), קיימים אינסוף ראשוניים.

דיריכלה הוכיח שלקבוצת המספרים הראשוניים השקולים ל- מודולו יש צפיפות דיריכלה ביחס לקבוצת כל הראשוניים, והיא שווה ל- , כאשר פונקציית אוילר. ההוכחה מבוססת על סיכום משוקלל של פונקציות L של דיריכלה – וריאנטים על פונקציית זטא של רימן התלויים בקרקטר מודולו .

ההוכחה של דיריכלה נחשבת פורצת דרך, שכן היא עירבה לראשונה שימוש מרובה באנליזה מתמטית לא-טריוויאלית כדי להשיג תוצאה בתורת המספרים. הוכחת המשפט נחשבת להולדת תורת המספרים האנליטית.

ב-1896, בסמוך להוכחת משפט המספרים הראשוניים, הראה שארל דה לה ואלה פוסן שהטענה נכונה גם אם מחליפים את צפיפות דיריכלה בצפיפות הטבעית.

קישורים חיצוניים


  • שגיאות פרמטריות בתבנית:לא מדויק

    פרמטרי חובה [ 2 ] חסרים
    גדי אלכסנדרוביץ', {{{2}}}, באתר "לא מדויק", שגיאה: זמן שגוי
P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.