אי-שוויון מינקובסקי

באנליזה, אי-שוויון מינקובסקי (על-שם המתמטיקאי והפיזיקאי הרמן מינקובסקי) גרסה של אי-שוויון המשולש לנורמה $p$ במרחב אוקלידי (גם אינסוף ממדי), המוכיח כי כל פונקציה כזו היא אכן נורמה.

בממד סופי

עבור $p \geq 1$ מגדירים את נורמת $ℓ_{p}$ של וקטור $x \in ℝ^{n}$ לפי הנוסחה $‖ \vec{x} ‖_{p} = \sqrt[p]{\sum_{i = 1}^{n} | x_{i}^{p} |}$ .

אי-שוויון מינקובסקי קובע כי $‖ x + y ‖_{p} \leq ‖ x ‖_{p} + ‖ y ‖_{p}$ לכל שני וקטורים $x, y \in ℝ^{n}$ .

חשיבותו בכך שהוא מראה שנורמת $ℓ_{p}$ מקיימת את אי-שוויון המשולש. מכיוון שהפונקציה הזו גם חיובית והומוגנית, היא מהווה נורמה.

הוכחה

לפי אי-שוויון המשולש:

‖ x + y ‖_{p}^{p} = \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} + y_{i} |^{p} = \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} + y_{i} | | x_{i} + y_{i} |^{p - 1} \leq \sum_{i = 1}^{n} (| x_{i} | + | y_{i} |) \cdot | x_{i} + y_{i} |^{p - 1} = \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} | \cdot | x_{i} + y_{i} |^{p - 1} + \sum_{i = 1}^{n} | y_{i} | \cdot | x_{i} + y_{i} |^{p - 1}

כעת, לפי אי-שוויון הלדר:

\begin{aligned} \sum_{i = 1}^{n} | x_{i} | \cdot | x_{i} + y_{i} |^{p - 1} + \sum_{i = 1}^{n} | y_{i} | \cdot | x_{i} + y_{i} |^{p - 1} \leq (‖ x ‖_{p} + ‖ y ‖_{p}) {(\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} + y_{i} |^{q (p - 1)})}^{\frac{1}{q}} & = (‖ x ‖_{p} + ‖ y ‖_{p}) {(\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} + y_{i} |^{p})}^{\frac{p - 1}{p}} \\ = (‖ x ‖_{p} + ‖ y ‖_{p}) ‖ x + y ‖_{p}^{p - 1} \end{aligned}

ולכן: $‖ x + y ‖_{p}^{p} \leq (‖ x ‖_{p} + ‖ y ‖_{p}) ‖ x + y ‖_{p}^{p - 1}$ , ולאחר צמצום נקבל $‖ x + y ‖_{p} \leq ‖ x ‖_{p} + ‖ y ‖_{p}$ .

בתורת המידה

ערך מורחב – מרחב Lp

בתורת המידה, נורמה- $p$ של פונקציה על מרחב מידה $(X, S, μ)$ מוגדרת $‖ f ‖_{p} = {(\int_{X} | f | d μ)}^{\frac{1}{p}}$ . המרחב $L^{p} (X)$ הוא אוסף כל הפונקציות עבורן $‖ f ‖_{p} < \infty$ ; זהו מרחב וקטורי ממשי, כלומר מרחב אוקלידי (לרוב אינסוף ממדי).

באופן זהה כלעיל ניתן להוכיח גם כאן את אי-שוויון מינקובסקי $‖ f + g ‖_{p} \leq ‖ f ‖_{p} + ‖ g ‖_{p}$ , ולכן זוהי באמת נורמה. ניתן גם להוכיח שהיא שלמה, ולכן זהו מרחב בנך. במקרה $p = 2$ מתקבל מרחב הילברט $L^{2} (X)$ .

המקרה הסופי הוא מקרה פרטי של מרחבי $L^{p}$ ; הוא מתקבל עבור המרחב $L^{p} (X_{n}, P (X_{n}), #)$ , כאשר $X_{n} = {1, \dots, n}$ ו- $#$ מידת המניה (כמות האיברים בקבוצה).

ראו גם

אי-שוויון מינקובסקי

תוכן עניינים

בממד סופי

הוכחה

בתורת המידה

ראו גם

תפריט ניווט

אי-שוויון מינקובסקי

בממד סופי

הוכחה

בתורת המידה

ראו גם

תפריט ניווט

חיפוש