מספר נורמלי

במתמטיקה, מספר נורמלי הוא מספר ממשי שהספרות שלו מתנהגות כאילו הוגרלו באקראי, כאשר לכל ספרה יש הסתברות שווה להופיע. לצורך הגדרה זו מספיק להתייחס לספרות שמימין לנקודה העשרונית.

למרות שניתן להוכיח שבאופן כללי "כמעט כל" מספר ממשי הוא נורמלי (במובן שמידת לבג של קבוצת היוצאים מן הכלל היא אפס), הוכחה זו איננה הוכחה בונה ומעט מאד מספרים מסוימים הוכחו כנורמלים. מספרים רציונליים אינם נורמליים, ומשערים שכל מספר אלגברי שאיננו רציונלי הוא נורמלי. משערים גם שפאי, [[השורש הריבועי של 2|תבנית:Sqrt]] ו-‏e נורמליים.

הגדרה

יהי $b>1$ מספר שלם, ויהי $x$ מספר ממשי. לכל סדרה סופית $s$ של ספרות בבסיס $b$ , נסמן ב-$N_n(s,x)$ את מספר הפעמים שהרצף $s$ מופיע ב-$n$ הספרות הראשונות של $x$ . בנוסף, נסמן ב-$\Vert s\Vert$ את האורך של $s$ (בספרות).

הגדרה. אומרים כי $x$ נורמלי ביחס לבסיס $b$ , אם לכל $s$ הסדרה $\frac{N_n(s,x)}{n}$ מתכנסת ל-$b^{-\Vert s\Vert }$ . מספר שהוא נורמלי ביחס לכל בסיס הוא מספר נורמלי.

אפשר, במקום לבחון מספר נתון $x$ , לבנות מספר $X$ על ידי הגרלת הספרות באקראי, בזו אחר זו, כאשר הספרות שוות הסתברות ובלתי-תלויות. במקרה כזה, $X$ יהיה נורמלי בהסתברות 1. במלים אחרות, 'נורמליות' היא התכונה שמציג מספר "חסר תכונות", שנבחר באקראי.

כדי שמספר יהיה נורמלי ביחס לבסיס $b$ , אין זה מספיק שהספרות בהצגה שלו לפי אותו בסיס יהיו בעלות שכיחות שווה – נורמליות דורשת שכל הרצפים באותו אורך יקיימו תכונה זו. למרות זאת, אם הספרות של $x$ הן שוות שכיחות, וזאת בכל בסיס, אזי $x$ נורמלי (ביחס לכל בסיס).

תכונות

את המושג טבע אמיל בורל ב-1909. בורל הוכיח (בעזרת הלמה של בורל-קנטלי) שכמעט כל מספר ממשי הוא נורמלי: מידת לבג של קבוצת המספרים שאינם נורמליים היא אפס. טענה זו ניתן להוכיח גם באמצעות חוק המספרים הגדולים החזק (ראו בערך לפרטים). משפט זה מראה שמספרים נורמליים קיימים, בלי להצביע על אף מספר כזה במפורש.

קל לראות שמספרים רציונליים אינם נורמליים ביחס לאף בסיס (הפיתוח לפי בסיס $b$ של מספר רציונלי הוא תמיד סופי או מחזורי). יתרה מזו, קבוצת המספרים שאינם נורמליים ביחס לבסיס נתון היא מעוצמת הרצף (היא כוללת, למשל, את כל המספרים המורכבים מרצפי הספרות 01 ו-10). משערים שכל מספר אלגברי שאינו רציונלי הוא נורמלי, אבל ניתוח הספרות של מספרים אלגבריים קשה ביותר, ולא ידועה אפילו דוגמה אחת למספר אלגברי נורמלי (ביחס לבסיס כלשהו). משערים גם שמספרים כגון e ופאי הם נורמליים – למרות שלא ידוע אפילו האם כל ספרה מופיעה בפיתוח העשרוני של פאי אינסוף פעמים.

המספר העשרוני $0.1234567891011\dots$ (נקרא גם "קבוע צ'אמפרנאוונה"), המתקבל מהדבקת המספרים הטבעיים זה אחר זה, בייצוג עשרוני, הוא נורמלי בבסיס 10.