סדרת לוקאס

במתמטיקה, סדרת לוקאס היא סדרה של מספרים שלמים שאיבריה מקיימים נוסחת נסיגה מהצורה $a_{n + 2} = P a_{n + 1} - Q a_{n}$ , כאשר $P, Q$ קבועים. דוגמאות מוכרות לסדרות לוקאס הן סדרת פיבונאצ'י, מספרי מרסן, מספרי לוקאס וסדרת פל. הסדרות נקראות על שם אדואר לוקאס.

הגדרה פורמלית

לאחר בחירת הקבועים $P, Q$ , סדרת לוקאס מוגדרת באמצעות נוסחת הנסיגה $L_{n} = P L_{n - 1} - Q L_{n - 2}$ , ותנאי ההתחלה הקובעים את $L_{0}, L_{1}$ . בפרט, סדרות לוקאס עם תנאי ההתחלה $U_{0} (P, Q) = 0, U_{1} (P, Q) = 1$ (ונוסחת הנסיגה $U_{n} = P U_{n - 1} (P, Q) - Q U_{n - 2} (P, Q)$ ) נקראת סדרת לוקאס מהסוג הראשון, וסדרת לוקאס עם תנאי ההתחלה $V_{0} (P, Q) = 2, V_{1} (P, Q) = P$ (ונוסחת הנסיגה $V_{n} = P V_{n - 1} (P, Q) - Q V_{n - 2} (P, Q)$ ) נקראת סדרת לוקאס מהסוג השני.

למשל,

$U_{n} (1, - 1)$ סדרת פיבונאצ'י.
$V_{n} (1, - 1)$ מספרי לוקאס.
$U_{n} (2, - 1)$ סדרת פל.
$V_{n} (2, - 1)$ סדרת פל-לוקאס.
$U_{n} (3, 2)$ מספרי מרסן.
$U_{n} (6, 8) = 2^{n - 1} (2^{n} - 1)$ סדרה בה נמצאים כל המספרים המשוכללים הזוגיים.

נוסחה מפורשת

את נוסחת הנסיגה של סדרת לוקאס אפשר לכתוב בעזרת מטריצות:

(\binom{L_{n}}{L_{n - 1}}) = (\begin{matrix} P & Q \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\binom{L_{n - 1}}{L_{n - 2}})

לכסון המטריצה מאפשר להגיע במהירות לנוסחה מפורשת של האבר הכללי, התלויה בערכי ההתחלה. המשוואה האופיינית של סדרת לוקאס היא $x^{2} - P x + Q = 0$ . נסמן את הדיסקרימיננטה $D = P^{2} - 4 Q$ , לפי נוסחת השורשים פתרון המשוואה הוא:

a = \frac{P + \sqrt{D}}{2} and b = \frac{P - \sqrt{D}}{2}

ולכן אם שני השורשים שונים אז

\begin{aligned} U_{n} = \frac{a^{n} - b^{n}}{a - b} = \frac{a^{n} - b^{n}}{\sqrt{D}} \\ V_{n} = a^{n} + b^{n} \end{aligned}

ואם שני השורשים זהים, $U_{n} = n S^{n - 1}, V_{n} = 2 S^{n}$ כאשר מתקיים $S = \sqrt{Q} = \frac{P}{2}$ .

זהויות

סדרות לוקאס משני הסוגים עם אותם פרמטרים קשורות ביניהן בכמה זהויות בסיסיות. להלן טבלת זהויות עם המקרה הפרטי של סדרת פיבונאצ'י ומספרי לוקאס כדוגמה.

$F_{n} = U_{n} (1, - 1), L_{n} = V_{n} (1, - 1)$

זהות כללית	מקרה פרטי
$(P^{2} - 4 Q) U_{n} = V_{n + 1} - Q V_{n - 1} = 2 V_{n + 1} - P V_{n}$	$5 F_{n} = L_{n + 1} + L_{n - 1} = 2 L_{n + 1} - L_{n}$
$V_{n} = U_{n + 1} - Q U_{n - 1} = 2 U_{n + 1} - P U_{n}$	$L_{n} = F_{n + 1} + F_{n - 1} = 2 F_{n + 1} - F_{n}$
$U_{2 n} = U_{n} V_{n}$	$F_{2 n} = F_{n} L_{n}$
$V_{2 n} = V_{n}^{2} - 2 Q^{n}$	$L_{2 n} = L_{n}^{2} - 2 (- 1)^{n}$
$U_{n + m} = U_{n} U_{m + 1} - Q U_{m} U_{n - 1} = \frac{U_{n} V_{m} + U_{m} V_{n}}{2}$	$F_{n + m} = F_{n} F_{m + 1} + F_{m} F_{n - 1} = \frac{F_{n} L_{m} + F_{m} L_{n}}{2}$
$V_{n + m} = V_{n} V_{m} - Q^{m} V_{n - m}$	$L_{n + m} = L_{n} L_{m} - (- 1)^{m} L_{n - m}$

סדרת לוקאס

הגדרה פורמלית

נוסחה מפורשת

זהויות

תפריט ניווט

חיפוש