משפט רימן (תורת הטורים)

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט רימן הוא משפט הקובע שלכל טור המתכנס בתנאי ולכל מספר ממשי ניתן לשנות את סדר האברים של הטור ולקבל טור המתכנס למספר. בנוסף ניתן לשנות את סדר האברים ולקבל טור המתבדר ל־$\pm \mathrm{\infty }$ או אפילו טור שאינו מתכנס גם במובן הרחב. את המשפט הוכיח ברנהרד רימן במאה ה-19.

משפט רימן הוא דוגמה נפוצה לתוצאה מתמטית הנוגדת את האינטואיציה. תכונה מוכרת של פעולת החיבור היא חילופיות; כאשר נתון סכום עם מספר סופי של מחוברים, ניתן לשנות בחופשיות את סדר הסכימה של האברים והדבר לא ישפיע על התוצאה. לעומת זאת, משפט רימן מראה שבמקרים מסוימים, תכונה זו נכשלת בסכומים עם מספר אינסופי של מחוברים, שם סדר הסכימה כן חשוב.

ניסוח פורמלי

הגדרות

נאמר כי טור $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ מתכנס בתנאי (בניגוד למתכנס בהחלט) אם $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ מתכנס אך $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_n|$ מתבדר.

נסמן ב־$\sigma (n)$ תמורה על קבוצת המספרים הטבעיים, כלומר $\sigma :\mathbb{\mathbb{N}}\to \mathbb{\mathbb{N}}$ היא פונקציה חד-חד-ערכית ועל.

הטור $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{\sigma (n)}$ הוא הטור המתקבל מ־$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ על ידי שינוי סדר אבריו לפי התמורה $\sigma (n)$ .

המשפט

יהי $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ טור המתכנס בתנאי. לכל מספר ממשי $L$ קיימת תמורה $n\mapsto \sigma (n)$ עבורה $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{\sigma (n)}=L$ . קיימת תמורה $n\mapsto \sigma (n)$ עבורה $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{\sigma (n)}=\mathrm{\infty }$ (או $-\mathrm{\infty }$), וקיימת תמורה $n\mapsto \sigma (n)$ עבורה $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{\sigma (n)}$ אינו מתכנס גם במובן הרחב.

דוגמה

דוגמה ידועה למשפט הוא הטור ההרמוני המתחלף:

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots$$

מאחר שזהו טור לייבניץ, טור זה מתכנס. לפי טור טיילור של הלוגריתם הטבעי ידוע כי סכומו של הטור הוא $\ln (2)$ . מצד שני, טור הערכים המוחלטים של אבריו הוא הטור ההרמוני שידוע כי הוא מתבדר. על כן הטור ההרמוני המתחלף מתכנס בתנאי. נבחן את הטור הבא המתקבל מהטור ההרמוני המתחלף על ידי שינוי סדר אבריו: $$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}-\cdots$$ ברור כי זהו שינוי פשוט בסדר האברים, כי כל אבר מהטור ההרמוני המתחלף יופיע גם בטור החדש פעם אחת ויחידה. נקבץ אברים (מותר לקבץ את הטור לקבוצות של שלוש כי בחינה מדוקדקת של הסכומים החלקיים תגלה שההפרשים בין כל שלושה סכומים עוקבים שואף ל־0) ונקבל:

$$\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}& =(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{10}-\frac{1}{12})+\cdots \\ & =\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\cdots =\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots )=\frac{1}{2}\ln (2)\end{array}$$

כלומר סכום הטור השתנה לחצי מסכום הטור לפני שינוי סדר האברים.

הוכחה

יהי $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ טור מתכנס בתנאי. נניח ללא הגבלת הכלליות כי אין בטור אפסים (שאינם משפיעים על סכום הטור ולכן ניתן להתעלם מהם).

נפריד את אברי הטור לשני טורים זרים; טור האברים החיוביים $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n^{+}$ וטור האברים השליליים $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n^{-}$ . מכיוון שהטור הכללי מתכנס בתנאי, ידוע לנו כי שני הטורים אינסופיים ומתבדרים לאינסוף ומינוס אינסוף בהתאמה. כמו כן מכיוון שהטור הכללי מתכנס, ידוע לנו שסדרת אברי כל טור מתכנסת ל־0.

התכנסות לסכום סופי

יהי $L$ מספר ממשי חיובי (ההוכחה למספר שלילי זהה), נראה כי קיימת תמורה של אברי $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ כך שהסכום מתכנס ל־$L$ . ראשית נסכום את אברי הטור החיובי לפי הסדר עד המספר $k_1$ שהוא הראשון שלגביו מתקיים $\sum _{n=1}^{k_1}{a}_n^{+}>L$ , כלומר:

$\sum _{n=1}^{k_1-1}{a}_n^{+}\le L<\sum _{n=1}^{k_1}{a}_n^{+}$

עתה נמשיך בכך שנוסיף לסכום את אברי הטור השלילי לפי הסדר עד המספר $k_2$ שהוא הראשון שלגביו מתקיים

$\sum _{n=1}^{k_1}{a}_n^{+}+\sum _{n=1}^{k_2-1}{a}_n^{-}\ge M>\sum _{n=1}^{k_1}{a}_n^{+}+\sum _{n=1}^{k_2}{a}_n^{-}$

נשוב לטור האברים החיוביים ונמשיך לסכום עד $k_3$ שהוא הראשון שלגביו הטור חוזר להיות גדול מ־$L$ , ואז עוברים לטור השלילי וכן הלאה עד אינסוף. זהו תהליך מוגדר היטב שקל לראות שהוא מגדיר תמורה על אברי הטור. בכל פעם ההפרש בין $L$ לטור הולך וקטן, שכן מצורת הבנייה ההפרש ביניהם הוא האבר האחרון שמוסיפים לטור, כלומר: $a_k^{+}$ או $|a_k^{-}|$ , ואברי הטור הולכים וקרבים ל־0 ותרומתם לסכום קטנה, ובפרט $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_k^{+}=0=\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_k^{-}$ . פורמלית, לכל $\epsilon >0$ קיים $N$ כך שלכל $k_N\le n$ מתקיים $|a_n|<\epsilon$ , ולכן ההפרש בין $L$ והסכום עד $k_n$ והלאה בהכרח מאבר האחרון שבו חל חילוף יחס הסדר, ואבר זה קטן מ־$\epsilon$ . לכן הטור מתכנס ל־$L$ .

התבדרות לאינסוף

כדי שהטור יתבדר לאינסוף נסכום את האברים החיוביים עד שהסכום גדול מ־$|a_1^{-}|$ (האבר הראשון בטור השליליים) ואז נחבר אבר זה. נחזור לטור החיוביים ונחבר מספיק מחוברים כך שהסכום גדול מ־$1+|a_2^{-}|$ ומחברים גם אותו. ובאופן כללי מחברים מספיק מחוברים כך שהסכום יהיה גדול מ־$(n-1)+|a_n^{-}|$ ואז מחברים את $a_n^{-}$ . מכאן שבדרך זו הסכום גדול מכל מספר טבעי ולכן הטור מתבדר לאינסוף. באופן דומה ניתן להחליף בין התפקיד של החיוביים והשליליים ולקבל טור המתבדר למינוס אינסוף.

התבדרות שלא לאינסוף

נבחר שני מספרים, נניח 0 ו־1. נסכום את האברים החיוביים עד שהסכום גדול מ־1, נוסיף את האברים השליליים עד שהסכום קטן מ־0, ונחזור להוסיף חיוביים עד שהסכום גדול מ־1 וכן הלאה. 0 ו־1 יהיו שניהם גבולות חלקיים של סדרת הסכומים החלקיים ולכן הסכום לא יתכנס גם במובן הרחב.

המשפט ההפוך

אם הדיון מוגבל לטורים מתכנסים, הרי שהמשפט ההפוך נכון גם הוא. טור שסכומו יכול להשתנות עם שינוי סדר הסכימה הוא בהכרח טור מתכנס בתנאי. כלומר, בטור מתכנס בהחלט ניתן לשנות את סדר הסכימה בחופשיות.

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', משפט רימן, באתר "לא מדויק",

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0