חבורה דיהדרלית

בתורת החבורות, חבורה דיהדרלית היא חבורת הסימטריות של מצולע משוכלל אשר איבריה הם סיבובים ושיקופים שמעבירים את המצולע לעצמו. הפעולה בחבורה היא הרכבה של שיקופים וסיבובים (ביצוע אחד מהם ולאחריו השני).

הגדרה

חבורה דיהדרלית נוצרת על ידי שני איברים, "איבר שיקוף" (שבדרך כלל מסומן כ-s), ו"איבר סיבוב" (שבדרך כלל מסומן כ-r) שבעצם מהווה "סיבוב" המצולע $\frac{2\pi }{n}$ רדיאנים בכיוון מוגדר (עם או נגד כיוון השעון). באופן פורמלי, החבורה הדיהדרלית של מצולע משוכלל מסדר n מוגדרת על ידי ההצגה: $D_n=⟨s,r|r^n=e,s^2=e,s^{-1}rs=r^{-1}⟩$ כאשר e הוא איבר היחידה של החבורה.

דוגמאות

• שלט עצור הוא מצולע משוכלל מסדר 8 (מתומן) עם כיתוב. אם נגדיר את שיקוף השלט כאיבר s, וסיבוב של השלט 45 מעלות נגד כיוון השעון כ-r, נקבל את החבורה הדיהדרלית $D_8$. בתרשים, השורה הראשונה מתקבלת מהפעלת איבר הסיבוב r על השלט, והשורה השנייה מתקבלת מהפעלת איבר הסיבוב r על שיקוף השלט (האיבר s).

פעולת איברי החבורה $D_8$ על שלט עצור.

תכונות

• לכל חבורה דיהדרלית יש (לכל הפחות) שתי תתי-חבורות (לא טריוויאליות) ציקליות הנוצרות על ידי האיברים s ו-r, שסדריהן יהיו, בהתאמה, 2 ו-n.
• מספר האיברים של חבורה דיהדרלית של מצולע משוכלל בעל n צלעות הוא 2n.
• לכל חבורה דיהדרלית יש תת-חבורה נורמלית הנוצרת על ידי האיבר r (מכיוון שהיא מאינדקס 2).

החבורה הדיהדרלית האינסופית

ערך מורחב – החבורה הדיהדרלית האינסופית

אחת ההכללות האפשריות לחבורה דיהדרלית למקרה האינסופי, הנה החבורה הדיהדרלית האינסופית, בה לסיבוב סדר אינסופי: $D_{\mathrm{\infty }}=⟨s,r\mid s^2=1,srs=r^{-1}⟩$.

חבורה זו מייצגת מספר תופעות גאומטריות מעניינות.

ראו גם

• חבורת הארבעה של קליין (המקרה n=2)

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא חבורה דיהדרלית בוויקישיתוף

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.