החבורה הדיהדרלית האינסופית

בתורת החבורות, החבורה הדיהדרלית האינסופית הנה חבורה אינסופית, המכלילה את החבורה הדיהדרלית.

מבוא והגדרה

חבורה דיהדרלית סופית $D_{n}$ נוצרת על ידי סיבוב $r$ של ${\frac {360^{\circ }}{n}}$ ושיקוף $s$; כאשר סדר החבורה סופי, השיקוף גם הוא בעל סדר סופי: $r^{n}=1$. בנוסף, בין השיקוף לסיבוב מתקיים היחס $srs=r^{-1}$.

בניגוד לכך, בחבורה הדיהדרלית האינסופית, הסדר של הסיבוב איננו סופי: זוהי החבורה הנוצרת על ידי שני איברים $r,s$, המקיימים $s^{2}=1$ ו-$srs=r^{-1}$. זוהי חבורה אינסופית, המסומנת $\operatorname {D} _{\infty }$ או $\operatorname {Dih} _{\infty }$.

תכונות

• כל חבורה דיהדרלית סופית איזומורפית למכפלה חצי ישרה של חבורה ציקלית סופית ו-$\mathbb {Z} _{2}$; תכונה זו מוכללת לחבורה הדיהדרלית האינסופית: $\operatorname {D} _{\infty }\cong \mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} _{2}$
• על ידי החלפת המשתנים $r$ ב-$sr$, ניתן לקבל ייצוג נוסף של החבורה: $\langle x,y\mid x^{2}=y^{2}=1\rangle$ - מכפלה חופשית של שתי חבורות מסדר 2: $\mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2}$.
• חבורת האיזומטריות של $\mathbb {Z}$ איזומופרית לחבורה הדיהדרלית האינסופית.

ראו גם

• החבורה האורתוגונלית (O(2