פולינומי צ'בישב

סדרת פולינומי צ'בישב (על שם המתמטיקאי פפנוטי צ'בישב) כוללת פולינומים בעלי מקדמים שלמים $T_{0} (x), T_{1} (x), \dots$ , המקיימים כמה תכונות מתמטיות חשובות. לפי משפט שהוכיח צ'בישב, כל פולינום ממשי מתוקן $p (x)$ מקיים את אי־השוויון $\max_{- 1 \leq x \leq 1} | p (x) | \geq 2^{1 - n}$ , והפולינומים $2^{1 - n} T_{n} (x)$ הם היחידים שעבורם מתקבל שוויון.

ארבעת הפולינומים הראשונים בסדרה הם:

\begin{aligned} T_{0} (x) & = 1 \\ T_{1} (x) & = x \\ T_{2} (x) & = 2 x^{2} - 1 \\ T_{3} (x) & = 4 x^{3} - 3 x \end{aligned}

הגדרה ותכונות יסוד

אפשר להגדיר את פולינומי צ'בישב לפי הנוסחה $T_{n} (\cos (θ)) = \cos (n θ)$ . לפי נוסחאות טריגונומטריות ידועות, אפשר לתרגם הגדרה זו להגדרה רקורסיבית:

{\begin{cases} T_{0} (x) = 1 \\ T_{1} (x) = x \\ T_{n + 1} (x) = 2 x T_{n} (x) - T_{n - 1} (x) \end{cases}

מכאן נובע שמעלת פולינום צ'בישב ה־ $n$ ־י היא $n$ .

מן ההגדרה הטריגונומטרית נובעת הזהות

T_{n} (x) = {\begin{cases} \cos (n \arccos (x)) & : x \in [- 1, 1] \\ \cosh (arcosh (x)) & : x \geq 1 \\ (- 1)^{n} \cosh (n arcosh (- x)) & : x \leq - 1 \end{cases}

מן ההגדרה נובע

T_{n} (T_{m} (x)) = T_{n \cdot m} (x)

וכן

T_{n} (1) = 1, T_{n} (- 1) = (- 1)^{n}, T_{2 n + 1} (0) = 0, T_{2 n} (0) = (- 1)^{n}

באינדוקציה אפשר להוכיח את הנוסחה

T_{n} (x) = \frac{{(x + \sqrt{x^{2} - 1})}^{n} + {(x - \sqrt{x^{2} - 1})}^{n}}{2} = \sum_{k = 0}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} (\binom{n}{2 k}) (x^{2} - 1)^{k} x^{n - 2 k}

ולקבל את הפונקציה היוצרת

\sum_{n = 0}^{\infty} T_{n} (x) t^{n} = \frac{1 - t x}{1 - 2 t x + t^{2}}

מתקיים גם השוויון $T_{n} (x) = 1 + n^{2} (x - 1) \prod_{k = 1}^{n - 1} (1 + \frac{x - 1}{2 \sin {(\frac{k π}{n})}^{2}})$ .

פולינומי צ'ביצ'ב ${T_{n}}_{n = 0}^{\infty}$ מהווים מערכת אורתונורמלית שלמה במרחב המכפלה הפנימית המוגדר על ידי המכפלה הפנימית המשוקללת $⟨ f_{1}, f_{2} ⟩ = \int_{- 1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} f_{1} (x) f_{2} (x) d x$ .

השלכות לבניות גאומטריות

מכך שמעלת $T_{n}$ היא $n$ נובע כי $\cos (θ)$ פותר פולינום שמקדמיו שייכים לשדה $ℚ [\cos (n θ)]$ , ובפרט הממד $[ℚ [\cos (θ)] : ℚ [\cos (n θ)]] \leq n$ . אם בוחרים $θ = \frac{π}{2 n}$ מתקבל $T_{n} (\cos (θ)) = 0$ , ולעיתים קרובות $T_{n}$ הוא הפולינום המינימלי של $\cos (\frac{π}{2 n})$ .

ראו גם

מסנני צ'בישב

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פולינומי צ'בישב

הגדרה ותכונות יסוד

השלכות לבניות גאומטריות

ראו גם

תפריט ניווט

חיפוש